提前领略高中数学知识

王冬青

提前领略高中数学知识

王冬青

高中内容的数学知识在近几年的中考试题中频繁出现，而多数是给出一些规定、法则或提供一定的阅读材料，或介绍一个概念、一种解法等，让你在理解规定、法则的基础上，获得解决问题的方法和思路，从而解决实际问题.其目的在于考查同学们的阅读理解、收集处理信息和运用知识解决实际问题的能力.

例1一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）= -f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函数.

例如f（x）=x3+x，不管x取任何实数，都有f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），所以f（x）=x3+x是奇函数.

（1）下列函数中，①f（x）=x3，②f（x）= x2+1，③f（x）=④f（x）=⑤f（x）=x+，______是奇函数，_______是偶函数.（只填序号）

（2）请你再写出一个奇函数和一个偶函数.

【思路突破】本题难度不大，只要抓住规定：若f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；若f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函数，问题就解决了.

【解答】（1）∵f（x）=x3，∴f（-x）=（-x）3= -x3=-f（x），∴①为奇函数，同理f（x）=f（x）也是奇函数，所以奇函数有①③⑤.

∵f（x）=x2+1，

∴f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），

∴②为偶函数.

【解后反思】该题以高中函数知识为背景，是初中函数知识的延伸，由于同学们有了一定的函数知识基础，故只需对照题中两例，完成对概念的探究，获取新知识，进而应用新知识，就可以解答问题.

例2关于三角函数有如下的公式：

利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

如图1，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高.

【思路突破】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点的垂直距离，CD的长由二者相减即可求得.

【解答】过D作BC的平行线交AB于E，则四边形BCDE为矩形，

∴DE=42，∠ACB=75°，∠ADE=60°.

∵在Rt△ABC中，

∴AB=BC·tan75°=42·tan（45°+30°）

图1　

∵在Rt△ADE中，

∴CD=BE=AB-AE=84（m）.

【解后反思】本题只介绍了三角函数中的两角和的相关计算公式，没有给出如何求得的，主要考查同学们应用公式的能力.

例3阅读资料：

如图2，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得所以A，B两点间的距离为

图2　

我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+ y2=r2.

图3　

图4　

问题拓展：

如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为_______.

综合应用：

如图4，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB.

①证明AB是⊙P的切线；

②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出经过这四个点的圆的方程；若不存在，说明理由.

【思路突破】问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据资料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程.

综合应用：①只要证明∠PAB=90°，即可得AB是⊙P的切线；

②当点Q为线段BP中点时，QO=QP= BQ=AQ，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题.

【解答】问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，∵P（a，b），半径为r，∴AP2=（x-a）2+（y-b）2=r2.故答案为：（x-a）2+（y-b）2=r2.

图5　

综合应用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD，

又∵PO=PA，PB=PB，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB.

∵⊙P与x轴相切于原点O，

∴∠PAB=∠POB=90°，

∴AB是⊙P的切线.

②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q，点Q为线段BP的中点.

∵当点Q为线段BP中点时，

且∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ，

此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等.即存在经过O，P，A，B四点的圆.

∵P点坐标为（0，6），

过点Q作QH⊥OB于H，如图5，

则有∠QHB=∠POB=90°，

∴以Q为圆心，以OQ为半径的圆的方程为（x-4）2+（y-3）2=25.

【解后反思】本题是一道阅读题，以考查阅读理解能力为主，在解决问题的过程中，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识，有一定的综合性.

（作者单位：江苏省丰县顺河中学）