用数学实验解决数学问题

林淑晶　陈佩凤

【摘 要】 如何让学生记住数学概念，准确运用数学概念来解题一直是数学中的重要问题，数学实验有助于加强学生对概念的理解和运用。阐述了如何用数学实验解决解决对圆周角的理解和运用的问题。同时，利用5W2H分析法对这一教学案例进行分析，提出一些关于数学实验的看法。

【关键词】 初中数学；几何教学；数学实验；5W2H分析法

【中图分类号】 G632.4 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2016）25-0-03

一、问题的提出

圆周角是初中数学非常重要的内容，圆周角定理及其推论对于角的计算，证明角相等，弧、弦相等，以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路"同样，圆内角和圆外角的问题可以利用三角形的外角定理转化为圆周角问题来解决！灵活运用圆周角的性质可以使许多问题变得简单、直观。但是在实际教学的过程中我们发现学生往往看似已经理解了圆周角的概念，也能把这一概念复述出来。但是在实际运用的过程中会出现：（1）不能准确的找出圆周角所对的弦；（2）找到了圆周角所对的弦，但是却找不到同弦所对的圆周角。

究其原因，初中数学教学中，概念的获得方式有两种，一种是以概念的形成方式获得，另一种是以概念的同化方式获得。在圆周角的教学中由于数学认知结构比较简单而具体，数学知识比较贫乏，因此大部分概念是以概念的形成方式进行教学的，也即直接告诉学生“圆周角就是顶点在圆上，并且两边都和圆相交”。这样会造成一个问题，就是学生被动地接受了一个概念，这个概念在他的脑中只是一个抽象的概念，没能和他本身的知识体系和圆的图像联系在一起，所以当只有简单的一个圆周角的时候，他能够顺利找出圆周角，但是当有几个圆周角在一起的时候，他就比较迷惑了。

为了解决这个问题我们希望可以让学生通过自己的观察，动手，把这一个概念更好地内化，能够准确地运用。

二、利用数学实验解决圆周角问题的策略

1.什么是数学实验

数学实验与物理、化学实验等同属于科学实验的范畴，本身具有科学实验的特点。但由于学科性质的不同，数学实验不同于一般的科学实验。数学实验是指按照数学思想发展的脉络，创造问题情景，充分利用实践手段、设计系列问题、增加辅助环节，在教学思维活动的参与下引导学生主动、积极、批判的思考，然后给出验证和理论证明，从而使学生亲历数学建构，逐步把握认识事物、发展真理的方式方法，培养创造能力和科学研究意识，提高数学素养的一种数学探索活动。

在教学过程中采取以下的模式：

教师：精选实验课题——设置问题情境——帮助、引导学生动手实验——帮助学生形成结论

学生：实验准备——观察、动手操作——与同学和老师交谈、探讨——形成结论并论证

在整个过程中，教师的主导作用主要体现在把学生带入问题情境后，有效地组织学生进行实验、探索。而学生在自觉进入问题情境后，通过观察、动手操作和实验等实践活动，去寻找事物间的联系，学生是整个学习过程的主体。

2.利用数学实验解决圆周角问题

根据数学实验的思想，我们把圆周角概念的获得变成几个学生活动环节。

活动一、找出圆的圆心，引出圆周角

教师在上课时给每位学生发一个圆形的卡片，问：怎么才能知道这个圆的直径？尽可能地找出不同的方法。

学生能通过对折找到圆心，教师继续引导是否还有其他的方法，有学生能想到利用垂径定理找出圆心，首先，随意找出圆中一条弦，然后用圆规画出这条弦的中垂线，重复操作两次即可找到两条中垂线的交点，此时，交点即为圆心。然后，老师利用三角板也能找圆心（演示，从而引入新课——圆周角）。

活动二、动手画一画，画劣弧AB所对的圆周角∠ACB，并与同伴交流

从学生画出的圆周角看，大部分学生都掌握了圆周角的概念，而第2个学生作品更揭示了一定的数学思想方法。

活动三、探索圆周角与圆心角的关系

1、量一量，上题中∠ACB和∠AOB的大小，你发现了什么？

我发现：∠ACB=_______；∠AOB=_______；

2、所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB有哪几种位置关系？

利用几何画板演示圆周角与圆心角大小关系，学生观察圆心都落在圆周角的什么位置？

师：在这个动态演示过程中，你们发现圆心在圆周角的什么地方？它们可以分为多少类？

3、所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB有哪几种位置关系？

利用几何画板演示圆周角与圆心角大小关系，学生观察圆心都落在圆周角的什么位置？

在这个动态演示过程中，你们发现圆心在圆周角的什么地方？它们可以分为多少类？

我们归纳如下：

4、你可以证明上述你测量的结论吗？试试看

已知：⊙O中，∠AOB为圆心角，∠ACB为圆周角

求证：∠ACB=1/2∠AOB

第二类、第三类能转化为第一类吗？

通过以上三个活动，让学生以概念的同化方式获得圆周角的概念，引导学生对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较、抽象，以归纳出圆周角概念的本质属性，从而获得圆周角的概念。同时，通过活动二和三让学生能更好地理解圆周角的概念，同时能让学生更好地理解同弦所对的圆周角的概念，更容易找出同弦所对的圆周角。

三、实施的效果与改进

经过这节的教学后，我们利用5W2H分析法对本节课的教学进行评价。

1.5W2H分析法

“5Why”是指“5个为什么”分析，也被称作为什么——为什么分析，是一种探索问题原因的方法。围绕一个问题连续发问5次，直到找到问题的真正的根源。5Why方法虽然简单，却包含了最先进的质量理念，它用简单的方法传递全面的质量改进理念，是系统化、结构化的问题解决方法。

5W2H得名于其设问的七个方面的英语缩写，即是谁（Who）、什么时候（When）、什么地点（Where）、什么原因（Why）、什么事情（What）、如何做（How）、花费多少（Howmuch）。

2.利用5W2H分析法对上述课例进行分析

Why：学生为什么会出现不能准确的找出圆周角所对的弦以及找到了圆周角所对的弦，但是却找不到同弦所对的圆周角的问题。这与学生被动接受概念，而不能把概念内化有关。

What：利用数学实验，设计三个活动环节，让学生通过自己观察、动手，对圆周角概念进行内化。

Where：教室。

When：上课时间。

Who：教师的主导作用主要体现在把学生带入问题情境后，有效地组织学生进行实验、探索。而学生在自觉进入问题情境后，通过观察、动手操作和实验等实践活动，去寻找事物间的联系，学生是整个学习过程的主体。

How：通过活动二，能让学生通过自己动手去了解同弧所对的圆周角的概念，在找圆周角的过程中对概念完成内化。通过活动三能对圆周角和圆心角的关系有一个感性的认识，并且在这一过程中体会概念形成的过程，有利于学生理解和运用概念。在活动二中基本上都是以正面的结果出现的，但是在实施的过程中还是有学生出现认识的错误，导致没有能正确地画出图形。

Howmuch：用一节课的时间对定理进行探究。这样探究的时间可能还是用得比较多，但是学生能够体会到概念形成的完整过程，虽然堂上的练习时间减少了。但是对于学生对数学方法的体会还是有好处的。

根据5W2H分析法本课例主要存在的问题是：（1）学生在画同弧所对圆周角的时候出现问题；（2）探究过程中所花费的时间过多。

3.根据5W2H分析法对数学实验进行改善

我们根据上述分析对本节课进行了一点改善，我们在课程实施的过程把形式改变为学生的小组合作。对于问题（1）在改变组织形式后从学生画出的圆周角看，大部分学生都掌握了圆周角的概念，少部分学生还存在理解性的错误，但经过同伴的指正也能很好地掌握，第一个知识点全员过关。对于问题（2）在活动二的时候每个人的画图量可以减少，整个小组把各自的结果和在一起进行观察。在活动三的证明过程中，同一个小组只要一部分同学把情况二变成情况一，其他人把情况三变成情况一，然后合起来一起讨论，这样整节课的时间就节省下来。

四、反思与收获

1、运用“数学实验”对学生的探究能力、创新能力及学科的学业成绩都有较显著的效果，产生如此效果的根本原因是把教学从传统的条条框框及千篇一律的程式中解放出来。教师的教与学生的学都充分得到了发挥，思维活跃、开阔，个性表现全面而充分，这样的教学是卓有成效的。这也从另一个方面说明，要使用这一模式，必须解放思想，勇于创新。

2、学生通过“数学实验”的探究活动，不仅掌握了数学的概念，形成更为完善的认知结构，而且亲历了知识的生长，获得了亲身体验和感悟，这样有利于学生形成问题探究意识和善于质疑、大胆实践，积极进取的精神。同时，培养了学生坚忍不拔、奋发有为的人格品质和不断追求新知的科学态度。

3、教师在选择探究问题或创设实验条件时，需注意以下几点：（1）实验所涉及的知识与经验必须是学生已经具有的，或者是他们的最近发展区，是学生跳一跳可以解决的问题。（2）问题或创设的实验条件是可以得出结果的，而且是多种结论的，以利于学生思维的搜索与发散。（3）所确定的问题应与学生的日常生活密切联系，具有现实的社会意义与价值，有利于培养学生的科学精神、态度与价值观。

4、“数学实验”培养了学生的探究能力。而探求学习能力的培养与学业成绩是一致的，不相矛盾。从本研究来看，证明了这种看法。

5、本实验的教学模式在学科教学的不同内容上有一定的差异性。在具体操作时一是需要对教学内容进行调整或再设计，二是对有些内容，我们不排除采用其他的教学方法和手段，学生的学习方法也要作相应的调整。“数学实验”是培养学生探究学习能力的一种方法，同时，“数学实验”教学模式决不意味着全面否定和抛弃常规教学。只是从比较来看，“数学实验”对培养学生的探究能力比常规教学方法更直观、更直接，常规教学需要更新，不是彻底抛弃。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准[M].人民教育出版社，2003：3

[2]邵光华，卞忠运.数学实验的理论研究与实践[J].课程·教材·教法，2007（3）

[3]曹一鸣.数学实验教学模式探究[J].课程·教材·教法，2003（1）

[4]庞心宇.运用5WHY+5W2H分析法激发学生创新思维[J].科技创新导报，2014（18）