二次函数系数式符号的判定

□宋毓彬

二次函数系数式符号的判定

□宋毓彬

一、判别二次函数系数式的几个关键要素

（1）确定a、b、c符号的方法

①a的符号由抛物线开口方向确定：

开口向上，a＞0；

开口向下，a＜0.

②b的符号由抛物线对称轴位置结合开口方向确定：

③c的符号由函数图象与y轴交点（0，c）的位置确定：

交点位于y轴正半轴，c＞0；交点位于y轴负半轴，c＜0；交点为原点时，c=0.

（2）对称轴的作用

②抛物线具有对称性，抛物线上关于对称轴对称的两个点的纵坐标相同（即函数值相等）.

（4）由抛物线上特殊点的位置判定特殊系数式的符号

如x=1时，y=a+b+c；x=-1时，y=a-b+c；x=2时，y=4a+ 2b+c；x=-2时，y=4a-2b+c等系数式，其符号可由图象上对应的点的位置来确定，对应点在x轴上方，y＞0；对应点在x轴下方，y＜0.

（5）由抛物线与x轴的交点情况确定判别式的符号

抛物线与x轴有两个交点，Δ= b2-4ac＞0；抛物线与x轴有一个交点，Δ=b2-4ac=0；抛物线与x轴无交点，Δ=b2-4ac＜0.

（6）由抛物线与x轴交点坐标确定函数值y的取值范围及a、b、c符号

抛物线与x轴相交于（x1，0）、（x2，0）.

①a＞0时，x1＜x＜x2，y＜0（对应的函数值在x轴下方，中间）；x＜x1或x＞x2，y＞0（对应的函数值在x轴上方，两边）.

a＜0时，x1＜x＜x2，y＞0（对应的函数值在x轴下方，中间）；x＜x1或x＞x2，y＜0；（对应的函数值在x轴上方，两边）

②由根与系数关系判别a、b、c符号，如交点都在左半轴上，则有知 a、c异号且a、b同号.

二、应用举例

例1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图1所示，则下列关系式成立的是（）.

B.a+b+c＜0

C.a2＞ab-ac

D.4ac-b2＞0

图1

解析：①由抛物线开口向下，故a＜0；对称轴在y轴右侧，x=与a异号，故b＞0；抛物线与y轴相交于正半轴，故c＞0.

因此abc＜0，故A错.

②当x=1时，y=a+b+c，而抛物线上x=1的对应点在x轴上方，即y＞0，因此a+b+c＞0，故B错.

③当x=-1时，y=a-b+c，由图象可知，x=-1时，y＜0，即ab+c＜0，得a＜b-c，

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又a＜0，所以a2＞ab-ac，

故C正确.

④由抛物线与x轴有两个交点，b2-4ac＞0，

所以4ac-b2＜0，故D错，

故关系式成立的是C.

例2已知二次函数y=ax2+ bx+c（a≠0）图象如图2所示，则下列5个结论：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+ 2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）.

其中正确的结论有（）.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

图2

解析：①同例1①，故①错；

②同例1③，b＞a+c，故②错.

③当x=2时，y=4a+2b+c，

由图象可知，x=2时，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③对.

∴b=-2a.

由②知a+c＜b，

∴2a+2c＜2b，∴2c＜3b，

故④对.

⑤由抛物线对称轴为x=1，y最大值为a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，

∴a+b+c＞am2+bm+c，

即a+b＞m（am+b）（m≠1），

故⑤对.

综上，正确的结论有③④⑤共3个，故选B.

例3图3是二次函数y=ax2+ bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）.

下列说法：

①abc＜0；②2a-b=0；③4a+ 2b+c＜0；④若是抛物线上两点，则y1＞y2.

其中说法正确的是（）.

图3

A.①②B.②③

C.①②④D.②③④

解析：①抛物线开口向上，故a＞0；对称轴在y轴左侧，a、b同号，故b＞0；图象与y轴相交于负半轴，故c＜0.∴abc＜0，故①对.

③当x=2时，y=4a+2b+c，由图象可知，x=2与x=-4所对应的点为对称点，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③错误.

综上，结论①②④正确，故选C.