分类讨论莫入“陷阱”

□朱元生

分类讨论莫入“陷阱”

□朱元生

老师：二次函数既是初中数学的重要知识点，也是中考的热点.但若概念模糊，忽视隐含条件，考虑问题不周密，常会产生错误的判断，导致错误的结论.现在和同学们一起探讨几个问题.

（别看问题较难，还真有不少同学举起了手）

解得m＞-4.

又m+3≠0，即m≠-3，

故m的取值范围为m＞-4且m≠-3.

老师：王慧同学的解答正确吗？

叶巍：不全面，因为题设并没有指明是二次函数还是一次函数，函数图象与x轴有一个交点或有两个交点都符合题意，因此必须分类讨论.

①当函数为二次函数，且图象与x轴有2个交点，这时就是王慧同学的解答；

②当函数为二次函数，且图象与x轴只有1个交点，则△=0，解得m=-4；

③当函数为一次函数，这时二次项系数m+3=0，即m=-3，这时函数为，它与x轴有一个交点

综上所述，m的取值范围应为m≥-4.

老师：叶巍同学的解答很全面，就应这样来分析.现在我们再一起思考下面这道题.

例2已知当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-k）2+k2+1有最大值4，试求实数k的值.

（又有很多同学举起了手）

卢霞：由题设可知，抛物线的开口向下，对称轴为x=k，顶点坐标为（k，k2+1）.

当-2≤k≤1时，最大值k2+1=4，解得

老师：卢霞同学的解答正确吗？

朱丹：不正确.首先k2=不在-2≤k≤1范围内，应舍去.同时k的取值也不一定局限于-2≤k≤1范围内.

①当k＜-2时，可知当x=-2时有最大值，即-（-2-k）2+k2+1=4，解得（不合题意舍去）；

②当k＞1时，可知当x=1时有最大值，即-（1-k）2+k2+1=4，解得k=2.

（同学们热烈鼓掌，一致认为朱丹同学的分析太好了）

老师：好，朱丹同学的解答确实很好！最后还有一道题，请同学们再考虑一下.

例3试求函数y=（k-1）x2-2kx+k的图象与坐标轴的交点坐标.

（这次举手的同学更多了）

祁婷婷：令（k-1）x2-2kx+k=0，解得令x=0，得到y=k.

老师：祁婷婷同学的解答对不对呢？

周燕：不够完整.由于函数解析式中含有待定系数，由于系数的不同可能得到不同类型的函数，如果是二次函数，还要对二次函数的判别式加以讨论.

（1）当k=1时，函数为y=-2x+1，这时直线与坐标轴的交点坐标为（0，1）和（

（2）当k≠1时，△=（-2k）2-4（k-1）·k=4k.

①若k＜0，则△＜0，此时抛物线与x轴无交点，但与y轴交点为（0，k）；

②若k=0，函数为y=-x2，此时抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，0）；

③若k＞0，且k≠1时，则△＞0，此时就是祁婷婷同学的解法，得到抛物线与坐标轴的交点坐标为和（0，k）.

（又是一阵热烈的掌声）

老师：周燕同学的分析同样很精辟，从以上几例可以体会到解题时一定要全面思考，充分挖掘隐含条件，不重不漏地进行分类讨论，切忌受思维定势的影响，以偏概全，挂一漏万，导致错误的结论.

下面还有两道题，有兴趣的同学可以继续探讨：

1.已知关于x的函数y=（m+1）x2-2mx+m-2的图象与x轴总有交点，试求m的取值范围.

参考答案：

1.m≥-2 2.a的取值为0、2或-2.