□朱元生
分类讨论莫入“陷阱”
□朱元生
老师:二次函数既是初中数学的重要知识点,也是中考的热点.但若概念模糊,忽视隐含条件,考虑问题不周密,常会产生错误的判断,导致错误的结论.现在和同学们一起探讨几个问题.
(别看问题较难,还真有不少同学举起了手)
解得m>-4.
又m+3≠0,即m≠-3,
故m的取值范围为m>-4且m≠-3.
老师:王慧同学的解答正确吗?
叶巍:不全面,因为题设并没有指明是二次函数还是一次函数,函数图象与x轴有一个交点或有两个交点都符合题意,因此必须分类讨论.
①当函数为二次函数,且图象与x轴有2个交点,这时就是王慧同学的解答;
②当函数为二次函数,且图象与x轴只有1个交点,则△=0,解得m=-4;
③当函数为一次函数,这时二次项系数m+3=0,即m=-3,这时函数为,它与x轴有一个交点
综上所述,m的取值范围应为m≥-4.
老师:叶巍同学的解答很全面,就应这样来分析.现在我们再一起思考下面这道题.
例2已知当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-k)2+k2+1有最大值4,试求实数k的值.
(又有很多同学举起了手)
卢霞:由题设可知,抛物线的开口向下,对称轴为x=k,顶点坐标为(k,k2+1).
当-2≤k≤1时,最大值k2+1=4,解得
老师:卢霞同学的解答正确吗?
朱丹:不正确.首先k2=不在-2≤k≤1范围内,应舍去.同时k的取值也不一定局限于-2≤k≤1范围内.
①当k<-2时,可知当x=-2时有最大值,即-(-2-k)2+k2+1=4,解得(不合题意舍去);
②当k>1时,可知当x=1时有最大值,即-(1-k)2+k2+1=4,解得k=2.
(同学们热烈鼓掌,一致认为朱丹同学的分析太好了)
老师:好,朱丹同学的解答确实很好!最后还有一道题,请同学们再考虑一下.
例3试求函数y=(k-1)x2-2kx+k的图象与坐标轴的交点坐标.
(这次举手的同学更多了)
祁婷婷:令(k-1)x2-2kx+k=0,解得令x=0,得到y=k.
老师:祁婷婷同学的解答对不对呢?
周燕:不够完整.由于函数解析式中含有待定系数,由于系数的不同可能得到不同类型的函数,如果是二次函数,还要对二次函数的判别式加以讨论.
(1)当k=1时,函数为y=-2x+1,这时直线与坐标轴的交点坐标为(0,1)和(
(2)当k≠1时,△=(-2k)2-4(k-1)·k=4k.
①若k<0,则△<0,此时抛物线与x轴无交点,但与y轴交点为(0,k);
②若k=0,函数为y=-x2,此时抛物线与坐标轴的交点坐标为(0,0);
③若k>0,且k≠1时,则△>0,此时就是祁婷婷同学的解法,得到抛物线与坐标轴的交点坐标为和(0,k).
(又是一阵热烈的掌声)
老师:周燕同学的分析同样很精辟,从以上几例可以体会到解题时一定要全面思考,充分挖掘隐含条件,不重不漏地进行分类讨论,切忌受思维定势的影响,以偏概全,挂一漏万,导致错误的结论.
下面还有两道题,有兴趣的同学可以继续探讨:
1.已知关于x的函数y=(m+1)x2-2mx+m-2的图象与x轴总有交点,试求m的取值范围.
参考答案:
1.m≥-2 2.a的取值为0、2或-2.