求解高中数学选择题的三个巧法

陈斌

摘 要：解答高中数学选择题时不要求写出计算或推理过程，只要答案，虽然解答此类题目的方法主要是直接法，但是，为了提高效率避免小题大做，解题的基本策略应该是：充分地利用题干和题肢两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，即解答选择题时要先考虑巧法.介绍了特例法、构造法和排除法三个巧法.

关键词：选择題；巧法；高中数学

方法一：特例法

从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.

【例1】如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么（ ）

A.a1a8>a4a5 B.a1a8a4+a5 D.a1a8=a4a5

【解析】取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立.

【答案】B

【例2】（2015·四川高考）设四边形ABCD为平行四边形，| |=6，| |=4.若点M，N满足 =3 ， =2 ，则 · =

（ ）

A.20 B.15 C.9 D.6

【解析】（特例法）

若四边形ABCD为矩形，建系如图1.

由 =3 ， =2 ，

知M（6，3），N（4，4）

∴ =（6，3）， =（2，-1），

· =6×2+3×（-1）=9.

【答案】C

特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.

【例3】如图2，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）

图1

A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.5∶1

【解析】将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P=BQ（=0），则有V =V = V ，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.

【答案】B

方法二：构造法

用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.

【例4】如图3，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，则球O的体积等于（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

图3

【解析】如图4，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD=2R，

图4

所以R= ，故球O的体积V = =π.

【答案】D

构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.

【例5】（2015·四川高考）设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的（ ）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】y=log2x（x>0）为增函数，当a>b>1时，log2a>log2b>0；反之，若log2a>log2b>0，结合对数函数的图象易知a>b>1成立，故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件.

【答案】A

方法三：排除法

排除法也叫筛选法、淘汰法.它是解选择题的一种常用的方法，可以根据选项的特征，通过灵活赋值，利用一些特殊的对象，如数、点等代入选项进行验证，根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息，可以间接得到符合题目要求的选项.

【例6】（2015·湖北高考）设x∈R，定义符号函数sngx=0 x=01 x=1，则（ ）

A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx

【解析】当x<0时，|x|=-x，x|sgnx|=x，

xsgn|x|=x，|x|sgnx=（-x）·（-1）=x，

排除A，B，C.

【答案】D

排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.

【例7】（2015·山西四校三联）已知函数f（x）=3x x≤0logx x>1，则函数y=f（1-x）的大致图象是（ ）

解析：当x=0时，y=f（1）=3，即y=f（1-x）的图象过点（0，3），排除A；当x=-2时，y=f（3）=-1，即y=f（1-x）的图象过点（-2，-1），排除B；当x=- 时，y=f（ ）=log ，即y=f（1-x）的图象过点（- ，log ），排除C.

【答案】D

编辑 谢尾合