λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式

刘宏锦,　周金森,　刘利敏

(1.龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012；　2.福建师范大学数学与计算机科学学院，福州350117)



λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式

刘宏锦1，2,周金森1,刘利敏1

(1.龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012；2.福建师范大学数学与计算机科学学院，福州350117)

设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵.若U(λ)与V(λ)等价,则对于任意的n阶方阵A,分块矩阵U(A)与V(A)的秩相等.利用此结论刻画了幂零矩阵、零化多项式等.同时,通过考虑两个对角λ-矩阵等价的充要条件,使关于矩阵多项式秩的一些恒等式的讨论有了新的统一的方法.

λ-矩阵； 等价； 矩阵多项式； 秩

矩阵多项式秩的恒等式的问题一直受到关注. 最近发表的论文大都是利用多项式理论以及分块矩阵的初等变换等方法,针对一些较为具体的问题研究矩阵多项式的秩的恒等式,得到了各种结论,如文献[1-6].本文从新的观点——λ-矩阵的等价来探讨矩阵秩的等式,对一些已知结论给出统一的新证明方法，这种方法快速而简便.

1　λ-矩阵的等价

设P是数域,Pn×n和P[λ]分别表示P上的n阶方阵和一元多项式的集合.设A∈Pn×n, rank(A)表示矩阵A的秩,E表示单位矩阵.

一个元素取自P[λ]的矩阵称为λ-矩阵.λ-矩阵的初等变换指的是P[λ]上的以下三种变换：

(i)矩阵的两行(列)互换位置； (ii)矩阵的某一行(列)乘以非零常数；

(iii)矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的φ(λ)倍,这里φ(λ)∈P[λ].

与数字矩阵一样,以上三种初等变换对应三类初等λ-矩阵,除第3种情况外,其余2类与数字矩阵的初等矩阵相同,第3种初等变换对应的初等λ-矩阵的形式如下

定义1[7]m×m阶的λ-矩阵U(λ)称为与V(λ)等价,如果可以经过一系列初等变换将U(λ)化为V(λ).

定理1[7]任意一个m×m阶非零的λ-矩阵U(λ)都等价于

其中r≥1,di(λ) (i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式,且

di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1).

称Λ(λ)为U(λ)的标准形.

定义2[7]标准形的主对角线上非零元素d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)称为U(λ)的不变因子组.

将λ-矩阵U(λ)的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)在P上分解为不可约因式之积

……

其中pi(λ)是首1的两两互素的不可约多项式,kij≥0,0≤k1j≤k2j≤…≤krj,j=1,2,…,t.

定理2[8]设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵,则下列叙述等价.

(i)U(λ)与V(λ)等价；

(iii)U(λ)与V(λ)有相同的标准形；

(iv)U(λ)与V(λ)有相同的不变因子组；

(v)U(λ)与V(λ)有相同的初等因子组.

其中pj(λ)是首1的两两互素的不可约多项式(j=1,2,…,t)且kij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,t),则

是U(λ)的初等因子组.

下面引理给出了判定两个对角λ-矩阵等价的一个判定方法.

引理1设

其中

这里p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1的不可约多项式,ai,bi∈P,kij,lij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,t).则U(λ)与V(λ)等价的充要条件是

证由定理3,U(λ)与V(λ)有相同初等因子的充要条件是对任意j=1,2,…,t,都有

再由定理2,即可得证.

2　主要结果及其应用

定理4若m×m阶的λ-矩阵U(λ)与V(λ)等价,则对任意n阶方阵A∈Fn×n,都有

rank(U(A))=rank(V(A)).

证由定理2,存在初等λ-矩阵P1(λ),P2(λ),…Pl(λ),Q1(λ),Q2(λ),…,Qs(λ),使得

U(λ)=P1(λ)P2(λ)…Pl(λ)V(λ)Q1(λ)Q2(λ)…Qs(λ).

这样对于任意n阶方阵A,有

U(A)=Pl(A)…P2(A)P1(A)V(A)Q1(A)Q2(A)…Qs(A),

它是mn×mn阶数字矩阵,其中U(λ)中的第(i,j)个元素uij(λ)化为uij(A)，是一个n阶方阵.特别地,常数多项式a,化为n阶方阵aE.注意到Pi(λ),Qj(λ)作为λ-矩阵是可逆矩阵,所以数字矩阵Pi(A),Qj(A)也是可逆矩阵.事实上,设Pi(λ)-1=Si(λ),则Pi(A)-1=Si(A). 因为左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，所以定理成立.

利用定理可得到如下幂零矩阵(推论1)、零化多项式(推论2)的刻画.

推论1设A是n阶方阵,则At=O的充要条件是

的秩为(t-1)n，其中式中分块矩阵的主对角线上有t个A.

证这是因为如下两个λ-矩阵等价

推论2设A是n阶方阵,f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+bm,则f(A)=O的充要条件是

的秩为(m-1)n.

证由于f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+bm的伴侣阵的特征矩阵

设不全为零的fi(λ)∈P[λ](i=1,2,…,s), 用(f1(λ),f2(λ), …,fs(λ)),[f1(λ),f2(λ), …,fs(λ)]分别表示f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)的首项系数为1的最大公因式和最小公倍式,记

d(λ)=(f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)),m(λ)=[f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)].

引理2设fi(λ)(i=1,2,…,s)在数域P上的分解式为

其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1的不可约多项式,kij≥0 (i=1,2,…,t; j=1,2,…,s).则

推论3[1]设A∈Pn×n,fi(λ)∈P[λ],fi(λ)≠0 (i=1,2,…,s,s≥2),那么下面的秩等式成立

证这里只证(i),(ii)类似可证.设fi(λ)(i=1,2,…,s)在数域P上的分解式为

其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1不可约多项式.取

这里

……,

i=1,2,…,s,j=1,2,…,t.由引理2,

…………,

因为

其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ)是两两互素的首1不可约多项式,a,b∈P.令

其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ),u1(λ),u2(λ),…,um(λ)仍是两两互素的首1不可约多项式,c∈P.若记

则

由引理1,U(λ)与V(λ)的初等因子组相同,所以U(λ)与V(λ)等价.再由定理4,即有

推论5[3]设A∈Pn×n,f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)是数域P上的s个两两互素的多项式.则下列矩阵多项式秩等式成立

推论6[4]设A∈Pn×n,正整数m,t满足m>t≥2,则At=Am当且仅当

3　结束语

利用本文的主要结论定理4不仅能刻画幂零矩阵、零化多项式,还可以给出幂等矩阵、对合矩阵、矩阵可对角化等的判定.λ-矩阵等价的充要条件是它们的初等因子组相同,由引理1,两个对角λ-矩阵等价的形式可以是多样的,所以利用定理4可以给出丰富的矩阵多项式秩的恒等式.

[1]左可正.关于矩阵多项式秩的二个恒等式[J] .山东大学学报(理学版)，2011，46(4):90-97.

[2]胡付高，曾玉娥.一类矩阵多项式秩的恒等式与应用[J].山东大学学报(理学版)，2008，43(8):51-54.

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[4]杨忠鹏，陈梅香，林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记[J].福州大学学报(自然科学版)，2009，3(1):24-28.

[5]杨忠鹏，林国钦，陈梅香.矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用[J].大学数学，2010，26(1):149-152.

[6]胡付高.一类矩阵多项式的秩特征[J] .大学数学，2007，23(3):164-166.

[7]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 [M].3版.北京高等教育出版社，2003:330-334.

[8]林亚南.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2013:210-222.

The Equivalence of Lamda Matrices and Rank Identities of Matrix Polynomials

LIUHong-jin1，2,ZHOUJin-sen1,LIULi-min1

(1. School of Information Engineering, Longyan University, Longyan Fujian 364012, China；2. School of Mathematics and Computer Science, Fujian Normal University, Fuzhou 350117, China)

Let U(λ)andV(λ)bemtimesmlamda-matrices.IfU(λ)andV(λ)areequivalent,thentherankoftheblockmatrixU(A)isequaltotherankoftheblockmatrixV(A)foranyntimesnmatrixA.Wedescribethenilpotentmatrices,zeroizedpolynomialandsoonbyusingtheconclusionasabove.Meanwhile,wegiveanewanduniformmethodwhendealingwiththerecentconclusionsabouttherankidentitiesofmatrixpolynomialsbyconsideringthenecessaryandsufficientconditionofequivalencebetweenthetwodiagonallamda-matrices.

lamda-matrix; equivalence; matrix polynomial; rank

2016-03-24；[修改日期]2016-04-17

国家自然科学基金(11471269; 11526107)；福建省自然科学基金(2016J01002; 2015J05010)

刘宏锦(1982—)，男，硕士，讲师，从事代数及其表示论研究.Email:hjliu005@sina.com

O151.21

C

1672-1454(2016)03-0097-05