用特征值刻画分式线性迭代数列的渐近性态

张　勤，　丛籥苏

(1.东南大学 数学系, 南京 211189； 2.东南大学 土木工程学院,南京 211189)



用特征值刻画分式线性迭代数列的渐近性态

张勤1，丛籥苏2

(1.东南大学 数学系, 南京 211189； 2.东南大学 土木工程学院,南京 211189)

利用分式线性迭代数列系数矩阵的特征值，刻画这类数列的敛散性及收敛速度.

分式线性迭代数列； 特征值； 渐近性态

1　引　　言

分式线性迭代数列是由Riccati差分方程

(1)

定义的数列，是最简单的非线性迭代数列之一.在一些动态经济控制问题中，分式线性迭代数列有重要的应用[1].

分式线性迭代数列 (1)可以化简为

(2)

至今已有许多文献研究分式线性迭代数列，得到了很多结论[1-4]. 文[1-3]分别介绍了求解差分方程(1)的不同方法.文[3-4]分别用迭代数列系数矩阵的特征值和迭代函数的不动点刻画了分式线性迭代数列的敛散性.文[4]还利用迭代函数的不动点描述了分式线性迭代数列的收敛速度.本文利用文[1]中介绍的方法求解差分方程(2)，结合迭代数列系数矩阵的特征值与迭代函数不动点之间的关系，得到数列(2)的由系数矩阵特征值表示的通项，并由此证明本文定理，一个利用数列(2)系数矩阵特征值描述的关于数列(2)的敛散性以及收敛速度的结论，统一并完善了文[3-4]中结论.

2　主要结论以及证明

(3)

证系数矩阵A的特征方程为λ2-(a+d)λ+(ad-b)=0, 特征值为

(4)

(5)

因为λμ=det(A)=ad-b≠0, 所以

再由xn=k+1/tn可知(3) 式成立.

若交换(4)式中λ,μ的记号，相应地交换(5)式中k和h的记号，由证明过程容易知道，(3)式仍成立. 下面这个数值例子也可以验证这一点.

两个表达式是一致的.所以引理成立.

(i) 当系数矩阵A有共轭复数特征值时，数列(2)发散；

(ii) 当系数矩阵A有相同的特征值λ时，数列(2)收敛到不动点k=λ-d，且xn-k=O(1/n)；

(iii) 当系数矩阵A有相异的实数特征值λ,μ时，若λ=-μ，则数列(2)发散；若|q|=|μ/λ|<1, 则迭代数列(2)收敛到不动点k=λ-d，且xn-k=O(qn).

证若x1或某个xn是迭代函数的不动点，显然数列(2)收敛到这个不动点；若实数x1不是迭代函数的不动点，实数a,b和d保证迭代有意义，且任意的xn不是不动点，则当数列(2)收敛时，极限值是迭代函数的实数不动点.

若A的特征值为共轭复数，则由(4)，(5)两式可知，不动点方程无实根，故数列(2)发散；

若A有相异的实数特征值λ=-μ,由(4)式可知a=-d，数列(2)具有如下特殊的形式

3　应用举例

高等数学试题及竞赛题中，经常出现判别分式线性迭代数列敛散性和求分式线性迭代数列极限的题目，利用本文的结论，这类试题可以得到圆满的解答.

当a<0时，矩阵A的特征值为共轭复数，数列xn发散；

本文介绍的方法和结论，还出现在优化控制等研究领域，能在解决经济学等学科中的实际问题中发挥作用，参见文献[1].

[1]Mitchell, Douglas W. An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2000, 24: 615-622.

[2]Brand, Louis. A sequence defined by a difference equation[J]. The American Mathematical Monthly, 1955， 62(7):489-492.

[3]李颖，周敏，倪谷炎. 基于特征值理论求分式线性递推数列极限[J]. 大学数学，2014，30(5): 74-77.

[4]赵焕光,项凌云. 递推数列极限的初等求法和收敛渐近性[J]. 高等数学研究，2013,16(5)：3-6.

Characterization of Asymptotic Behavior of the Rational Recursive Sequence Using Eigenvalues

ZHANGQin1，CONG Yue-su2

(1.DepartmentofMathematics,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China；2.SchoolofCivilEngineering,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China)

Theconvergenceandconvergencerateoftherationalrecursivesequenceischaracterizedbyeigenvaluesofthecoefficientmatrix.

therationalrecursivesequence;eigenvalue;asymptoticbehavior

2016-01-20；[修改日期] 2016-03-15

张勤(1963—),女，硕士，副教授，从事高等数学教学.Email:zhangqin@seu.edu.cn

O171

C

1672-1454(2016)03-0114-03