无穷求和的计算Ⅱ

王虞燕，　邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)



无穷求和的计算Ⅱ

王虞燕，邱为钢

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)

综合利用裂项法,特殊函数法和围道积分得到了一些无穷求和的值.

围道积分； 无穷求和； 特殊函数

1　引　　言

无穷求和的计算是高等数学的一项基本运算，也是理论物理专业必须要求熟练掌握的一项(解析)计算能力.文献[1-8]利用幂级数，积分恒等式，范德蒙行列式, 傅里叶级数，特殊函数，泊松求和，交换次序等方法，得到了一些无穷求和的值.理论物理中实际出现的无穷求和形式多种多样，我们要学会分析其表达式的特点，有针对性的选择最适合的方法来计算.所以掌握的方法越多越好，除了文献中的众多方法，本文将介绍裂项法, 特殊函数法和围道积分法，来计算一些无穷求和的值.

2　裂项法

定义一个数列an，前两项是a1=2,a2=8，递推关系式是

an=4an-1-an-2.

(1)

与这数列有关的无穷求和是

(2)

f(x)-2x=4xf(x)-x2f(x).

(3)

由此得到

(4)

(5)

假设存在以下裂项式关系

(6)

(6)式两边取正切函数,计算得到

(7)

用待定系数法求解(7)式中的递推方程，假定

bn=Aα2n+C.

(8)

(8)式代入(7)式，计算得到

(9)

比较(9)式中α的各项系数，得到

(10)

(10)式代入(8)式，得到

(11)

(12)

3　特殊函数法

首先介绍一个特殊函数，两重对数函数(Dilogarithms)[10]，它在单位圆盘和边界上定义为

(13)

它在单位圆盘之外值由解析延拓确定，即在全复平面上定义的.它满足以下函数方程

(14)

取z=(1+itanθ)/2, 0<θ<π/3，代入(14)式，比较实部，得到

(15)

取z=exp(iθ), 0<θ<π/2，以下角度θ 都在这个取值范围内，不再一一说明.那么由

(16)

代入(14)式, 对比实部得到

(17)

由文献[10]

(18)

所以

(19)

或者

(20)

4　围道积分法

取一个复变函数为

(21)

围道取为第一象限半径为无穷大的四分之一圆，两个垂直相交的半径落在实轴和虚轴上，绕过边界上各极点, 实轴上的积分贡献是

(22)

虚轴上的积分贡献是

(23)

实轴上的极点z=n求和贡献是

(24)

虚轴上的极点z=ni求和贡献是

(25)

原点的极点贡献是

(26)

令ω=exp(iπ/4)，以上贡献之和等于f(z)在极点z=aω处的留数乘以2πi,由此得到

(27)

由对数伽玛函数微商ψ(z)的积分表达式[9]

(28)

得到

(29)

由此得到

(30)

对(30)式中的参数a作各种操作，如展开级数，求和，积分等，还能得到其他无穷求和表达式，篇幅所致，不再详述.

5　结　　论

无穷求和的计算方法，一般由它的表达方式确定，如何取舍，取决你掌握方法的广度以及深度.这一点，在理论物理实际解析计算中，尤其重要.本文中的第一类无穷求和，试探为裂项；第二类无穷求和，由于分母上是自然数的平方，分子上是三角函数，与两重对数函数的定义非常相像，所以联想到它的函数方程；第三类无穷求和，要试探猜到复变函数形式以及路径积分的围道.这些技巧和经验，都需要在实际问题中反复磨练.

[1]耿彦如. 一种无穷级数的求和方法[J]. 数学教学研究,2010,29(8): 59-60.

[2]程海来. 一类无穷级数的求和[J].大学数学，2013，29(3): 112-114.

[3]于彬. 一类无穷级数的求和[J]. 大学数学，2011，27(2): 177-180.

[4]杨传富, 赵培标. 积分恒等式及其在无穷级数求和中的应用[J].高等数学研究，2010，13(3): 9-11.

[5]宣体佐. 也谈几个无穷级数的求和问题[J].数学通报，1985,11: 44.

[6]莫颂清. 一组无穷级数求和的另一种方法[J]. 数学通报，1985,11:44.

[7]邱为钢. 一类无穷级数和的计算方法[J ].安庆师范学院学报:自然科学版,2007,13 (2) :74-75.

[8]蒋明明，邱为钢. 一类无穷级数和的计算方法Ⅱ[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2008 ,14 (3) :91-92.

[9]王竹溪，郭顿仁. 特殊函数概论[M]. 北京：北京大学出版社，2000.

[10]Leonard Lewin. Polylogarithms and associated functions[M]. Newyork, North Holland：1981.

Evaluation of Some Infinite Sums Ⅱ

WANGYu-yan，QIUWei-gang

(School of Science, Huzhou Teacher’s College, Huzhou Zhejiang 313000, China)

Some infinite sums are evaluated by the splitting term method, special function method and contour integration method.

contour integration; infinite sums; special function

2015-01-19；[修改日期] 2016-01-22

高等学校数学物理方法课程教学研究项目(JZW-15-Sl-03)； 国家自然科学基金(11475062)

邱为钢(1975-),男，博士，副教授，从事数学物理教学研究.Email:wgqiu@hutc.zj.cn

O172.2

C

1672-1454(2016)03-0102-04