关于替换定理的两点注记

郭聿琦,　胡　洵,　陈玉柱

(兰州大学数学与统计学院, 兰州730000)



关于替换定理的两点注记

郭聿琦,胡洵,陈玉柱

(兰州大学数学与统计学院, 兰州730000)

替换定理是线性空间(数域上的线性空间V，特别地，n)理论中涉及线性相关性的最基本的一个事实.为了引导学生更好地理解它，我们在教学实践中形成了关于它的两点注记.

替换定理； 极大线性无关向量组； N-最大线性无关向量组

定理1(替换定理)[1-4]令α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt∈n.若

(i){α1,α2,…,αs}是线性无关的，(ii){α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}线性表出，

则s≤t，且适当排列{β1,β2,…,βt}的顺序，向量组{α1,…,αs,βs+1,…,βt}与{β1,β2,…,βt}等价(可相互线性表出) .

替换定理的最基础部分是该定理的第一个结论. 为了引导学生更好地理解它，我们在教学实践中积累了下述两点注记.

1　关于替换定理的一个理解

对替换定理的理解表现在下面一个定理里.

(i)令α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt∈n. 若{α1,α2,…,αs}线性无关，且{α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}线性表出，则s≤t.

(ii) 令m,n∈+.若m>n，则n中任意m个向量线性相关.

(iii)上m个未知量n个方程的线性齐次方程组

(1)

在m>n时，有非零解.

(iv)关于n的任意向量集S，{β1,β2,…,βt}为S的极大线性无关向量组当且仅当{β1,β2,…,βt}为S的N-最大线性无关向量组.

证(i)⟹(ii).n的任意向量显然都可由(ε1,ε2,…,εn)线性表出，其中ε1,ε2,…,εn依次为n阶单位阵的n个列向量.又若n的l个向量α1,α2,…,αl线性无关，则根据(i)，有l≤n. 因此，n中任意m个向量，m>n时，线性相关.

(ii)⟹(iii).考察方程组(1)，即上的矩阵方程

(2)

令

αi=(a1i,a2i,…,ani)′∈n,i=1,2,…,m.

由已知m>n，根据(ii)，向量组{α1,…,αm}线性相关，即矩阵方程(2)，从而(1)有非零解.

(iii)⟹(iv). “当”是显然的，只证“仅当”的部分. 令{β1,β2,…,βt}为S的一个极大线性无关向量组，{α1,α2,…,αs}为S的任一线性无关向量组. 则根据假设，{α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}线性表出，即存在aij,i=1,2,…,s,j=1,2,…,t，使得

当且仅当(k1,k2,…,ks)′为下线性方程组

的解.若s>t，则根据(iii)，上方程组有非零解，即{α1,α2,…,αs}线性相关，一个矛盾. 从而{β1,β2,…,βt}为S的N-最大线性无关向量组.

用非常初等的方法就可证明上定理的第(iii)款成立，从而，上定理的各款成立，特别地，替换定理的第一个结论成立.我们顺便罗列这一证明如下.

上定理的第(iii)款成立的证明

考查齐次线性方程组(1)， 即考查下矩阵方程

An×mX=θ.

(2)

对矩阵A作有限次行的3种初等变换(相当于对(2)作方程间的3种初等变换，它们保持前后方程组的同解性)和列的交换.令A的秩为r，有

其中r≤n

(3)

与(2)同解，其中X*=(xi1,xi2,…,xim)′.注意，列交换时，要记住未知量也作出的相应的交换.因此，(3)的解(ai1,ai2,…,aim)′就是(2)的解(a1,a2,…,am)′((3)与(2)，从而(3)与(1)的同解就是建立在这个意义上的).

而(3)又同解于

r≤n

2　定理3在数域上一般线性空间V中的表现形式

定理4令V为数域上一线性空间，则下列诸款等价：

(i) 令α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt∈V.若{α1,α2,…,αs}线性无关，且{α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}线性表出，则s≤t.

(iii)上m个未知量n个方程的线性齐次方程组

在m>n时，有非零解.

(iv) 令V1=G[α1,α2,…,αs]≤V，αi∈V，i=1,…,s.则关于V1的任意向量集S，{β1,β2,…,βt}为S的极大线性无关向量组当且仅当{β1,β2,…,βt}为S的N-最大线性无关向量组.

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数 [M].3版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]张贤科，许甫华.高等代数学 [M].2版.北京：清华大学出版社，2004.

[3]郭聿琦, 岑嘉评, 徐贵桐. 线性代数导引 (面向 21 世纪课程教材)[M]. 北京: 科学出版社，2004.

[4]Yuqi Guo，Karping Shum，Guitong Xu.Linear Algebra (Translated by P. K. Tam from the new version of [3])[M]. Beijing: Science Press，2007.

[5]郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀.高等代数学教程[M].北京: 科学出版社, 2014.

[6]Karl W. Gruenberg，Alan J. Weir.Linear Geometry [M].2nd Ed. Springer-Verlag，New York Inc.，1977.

Two Notes on the Replacement Theorem

GUOYu-qi,HUXun，CHENYu-zhu

(Lanzhou University, Department of Mathematics and Statistics，Lanzhou 730000, China)

The replacement theorem is the most basic fact in the linear space theory dealing with linearly dependent property. In the teaching practice, we accumulate two notes that makes the theorem be understood better.

the replacement theorem; the maximal linearly independent vector set; the N-maximum linearly independent vector set

2015-01-07；[修改日期] 2016-03-14

兰州大学教学研究项目资助

郭聿琦(1940-)，男，教授，博导，从事代数学-半群与组合半群的研究.Email: yqguo259@swu.edu.cn

O153

C

1672-1454(2016)03-0111-03