分式线性递归数列的通项公式与性质——问题Whc116的解决

黄国和

(广州市番禺区象贤中学，广州511483)



分式线性递归数列的通项公式与性质
——问题Whc116的解决

黄国和

(广州市番禺区象贤中学，广州511483)

利用一个二阶齐次线性递归数列的通项公式，求出分式线性递归数列的通项公式，得出了分式线性递归数列有关项数的结论, 并给出了判定分式线性递归数列的敛散性与周期性的充要条件.

分式线性递归数列； 项数； 有穷； 收敛； 最小正周期； 周期数列

1　引　　言

近三十年来，对于分式线性递归数列{xn}

的通项公式与性质的研究，有许多文章刊登在中等类或高等类的数学期刊上.但一些文章由于忽略或回避了讨论它的项数出现有穷的情况，因此所得出的{xn}的敛散性与周期性的结论并不准确.

实质上, 1993年，文[2]提出的问题Whc116正是关于分式线性递归数列{xn}的项数问题：

设首项为x1的数列{xn}满足

问x1，a，b，c，d满足什么条件时，{xn}是n0项的有穷数列？n0有一个计数公式吗？

二十多年来，一些文章对此做了有益的工作，其中文[3]给出了这一问题的一种解决途径，但它的一些结论在具体应用时不十分方便，文[4]给出了解决这一问题的一个结论，但它未能有机地嵌入到{xn}的敛散性与周期性的判定中.

另外，许多此类文章在研究{xn}的周期性时没有甄别它出现常数数列的情况，因而得出它的周期性判定的结论也不准确.

目前，一般是用不动点(特征根) 法、矩形法、换元法或构造法推导{xn}的通项公式，再利用推导出的通项公式研究它的性质. 本文将利用一个二阶齐次线性递归数列，求出{xn}的通项公式的另一表达形式，并得出与{xn}的项数有关的结论，进而给出{xn}的敛散性与周期性的确切的充要条件.

2　两个引理

由

于是

由

即

于是

从而有

b2=b1+β，bn+2=bn+βbn+1，

3　分式线性递归数列的通项公式

以下，a+d≠0且ad≠bc时，记

δ<0 ，δ>4或δ为虚数时，记

0<δ<4时，记

于是有

定理1设数列{xn}首项为x1，且满足

则数列{xn}的通项公式可表述如下

(i)ad=bc时

(ii)a+d=0时

(iii)δ<0，δ>4或δ为虚数时

(iv)δ=4时

(v)0<δ<4时

证(i)ad=bc时，

显然成立;

(ii)a+d=0时，可用数学归纳法证明

①n=1及n=2时显然成立，

② 假设n=k时所证成立，则

k为奇数时，xk=x1，那么

即n=k+1时所证也成立.于是a+d=0时，{xn}的通项公式为

a+d≠0且ad≠bc时，令

于是由引理2即得定理1的(iii)，(iv)，(v).

4　关于分式线性递归数列的项数.问题whc116的解决

定理2{xn}是项数为N(N≥2)的有穷数列，当且仅当满足以下四个条件之一:

即

得a=0，I=bi，这与I2为虚数矛盾.

于是由定理1 即得

{xn}是项数为N(N≥2)的有穷数列

δ=4时，由定理1得

0<δ<4时，由定理1得

{xn}是项数为N的有穷数列 ⟺α·sinNθ+tanθ·cosNθ=0.

α·sinNθ+tanθ·cosNθ=0 ⟺α=-tanθ·cotNθ，

于是

有且共有q个不同值，要使{xn}是项数为N的有穷数列，必有

5　关于分式线性递归数列的敛散性与周期性

定理3当且仅当满足以下五个条件之一时{xn}是常数数列:

(iii)δ=4，α=0；

(iv)δ<0 ，δ>4或δ为虚数，α=±I；

(v) 0<δ<4，α=±i·tanθ.

证由定理1，(i)，(ii)，(iii)显然成立.

(iv)δ<0 ，δ>4或δ为虚数时，有I2≠1，即I≠±1，于是由定理1及定理2得

{xn}是常数数列 ⟺ {xn}是无穷数列且x1=x2

(v) 0<δ<4时，{xn}是常数数列⟺{xn}是无穷数列且x1=x2

定理4当且仅当满足以下三个条件之一时{xn}是收敛的无穷非常数数列:

(iii)δ<0，δ>4或δ为虚数，α≠±I且

此时

定理5(i) {xn}是常数数列的充要条件是

(ii) {xn}是以2为最小正周期的周期数列的充要条件是

(iii) {xn}是以q(q≥3，q∈+)为最小正周期的周期数列的充要条件是

且

证(i)是显然的，(ii)可直接由定理1给出

xn+q≡xn

于是由定理3得

{xn}是以q(q≥3，q∈+)为最小正周期的周期数列

⟺ α≠±itanθ，{xn}是无穷数列，且使sinqθ=0的q(q≥3，q∈+)为最小

因此，由定理2的(iv)即得定理5的(iii).

定理6可由定理2、定理3、定理4定理5直接得到.

定理7如果δ是大于0小于4且不等于1，2，3的有理数，α≠±i·tanθ，且对一切正整数n都有α≠-tanθ·cotnθ，那么{xn}是既不收敛也无周期的无穷数列.

6　应用举例

利用以上定理，可以构造出任意指定性质的分式线性递归数列.

例1求数列{xn}：

的通项公式，并指出其性质.

解由定理1得

(vii)x1=0，b=-8；(viii)x1=1,b=-2i.

解 由定理1得

例3由定理2得，当且仅当满足以下四个条件之一时{xn}是项数为100的有穷数列

(i)δ<0 ，δ>4或δ为虚数，且

例4由定理3得，满足以下条件之一时，{xn}是常数数列:

例5由定理5得

(ii) {xn}是以4为最小正周期的周期数列的充要条件是δ=2，且α≠±i,±1,0；

(iii) {xn}是以6为最小正周期的周期数列的充要条件是δ=3，且

(iv) {xn}是以8为最小正周期的周期数列的充要条件是

(v) {xn}是以素数q(q≥3)为最小正周期的周期数列的充要条件是

且

(*)

若n为正整数，则

k<-1时，

② -1

于是由定理2、定理4得

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GeneralTermFormulaofFractionalLinearRecursiveSequenceandtheNature——TheSolutionoftheProblemWhc116

HUANG Guo-he

(GuangzhouPanyuXiangxianHighSchool,Guangzhou511483,China)

Usingthegeneraltermformulasofasecond-orderhomogeneouslinearrecurrentsequences,theauthorfindsoutthegeneraltermformulasoffractionalrecurrentsequences,concludesrelatednumberofitemsofthefractionalrecurrentsequencesandgivesthenecessaryandsufficientconditionsfordeterminingconvergenceanddivergenceandperiodicityoffractionalrecurrentsequences.

fractionalrecurrentsequence;numberofterms;finiteness;convergence;minimalpositiveperiod;periodicseries

2015-12-26；[修改日期]2016-04-09

黄国和(1963-)，男，学士，广州市番禺区象贤中学高级教师，从事高中数学教学工作.

Email：18028629950@163.com

Vol.32,№.3

COLLEGEMATHEMATICS

O171

C

1672-1454(2016)03-0117-10