“学以致用”理念下放球模型教学设计

赵鲁涛，　李　晔，　张志刚，　王荣明

(1.北京科技大学数理学院，北京100083；　2.北京科技大学自然科学基础实验中心，北京100083)



“学以致用”理念下放球模型教学设计

赵鲁涛1，李晔2，张志刚1，王荣明1

(1.北京科技大学数理学院，北京100083；2.北京科技大学自然科学基础实验中心，北京100083)

在“学以致用”教学理念下，以引例导入、提出问题、分析求解、应用拓展为主线，进行了放球模型的教学设计.在教学设计中集中体现了将课堂教学与生产、生活、科研相结合的思想，设计了生日问题、生日攻击、抽屉原理三个案例，并将计算机仿真模拟、动画演示等现代化教学手段引入到课堂教学中.在此教学设计下开展的课堂教学充分调动了学生的积极性和主动性，培养了学生的知识应用能力，提高了教学效果.

学以致用； 教学设计； 放球模型

1　引　　言

当今社会，知识交叉融合、综合化的趋势日益增强，对人才的知识结构、能力结构、素质结构等方面提出了新的要求和更高的标准.这就对高等教育工作者们提出了新的挑战，教师必须改变传统的教学模式，树立新的教学理念，培养顺应形势发展的“复合型”创新型人才[1-3].复合型人才的重要特征之一就是不仅需要有扎实的学科基础，宽广的知识面，更需要拥有灵活运用所学知识解决实际问题的能力.对于我校的学生，往往缺乏的不是知识，而是应用知识、创造知识的能力.这种现象是由以教师讲授、传递知识为主的传统教学模式所造成的.

以概率与数理统计课程为例，传统的课堂教学是抽象难懂的概念以及公式的推导，知识应用较少，使得理论与实际脱节，最终导致学生不知道“为何而学”，到底“学有何用”，从而影响学生“学以致用”能力的培养[4].概率知识来源于生活，应用于生活，如果教师只注重理论讲授，那就脱离了知识的本质.鉴于此，笔者根据十多年的教学经验，提出了“学以致用、用以促学”的教学理念，并应用于教学实践.本文主要通过“放球模型”教学设计来体现“学以致用”教学理念.

2　放球模型教学设计

放球模型是概率论与数理统计中的重要的基础模型，本节教学设计由问题引入、问题解析、应用拓展三个环节构成.

2.1问题引入——生日问题

放球模型与实际生活紧密联系，在课堂教学伊始，采用与学生关注的、有意思的生日问题作为引入问题.在此设计两个问题，第一：在班级之中，同学们同一天生日的概率有多大？第二：以美国历任44位总统，生日和祭日相同的情况进行统计，以统计结果来进一步引导同学思考.

两组有趣而又贴近生活的引例的展示成功的抓住学生的心弦，调动了学生的参与热情，激发了学生的兴趣和求知欲，为整堂课奠定良好的基础.同时，用来源于现实生活的问题引出所学内容，带动学生自主地发现、探索周边生活中的数学问题，培养学生“学以致用”的意识.

2.2问题解析

2.2.1提出问题原型

放球模型——将m个不同编号的球随机放入N(N≥m)个盒子中，每球以相同的概率放入盒子，盒子容量不限，令：A1为某指定的m个盒子中各有一球；A2为恰有m个盒子中各有一球；A3为至少有两球在同一个盒子中；求P(Ai)，i=1,2,3.

提出问题以后，引导学生理解球和盒子是抽象出来的模型元素，针对不同的现实问题，二者将赋予不同的含义.

2.2.2分析求解

放球模型是典型的古典概型，利用古典概型的解题思路：

(ii)求P(A2).引导学生判断A2与A1的区别，A2需要先选盒子再放球，利用A1的结果，求得A2的概率，因此有

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(iii)求P(A3).采用对立的思想对于A3求解.若从正面分析什么是“至少”，可能会出现两球在同一盒子中，还有可能是3个、4个、5个…，直接计算非常复杂，因此要通过其对立事情的考虑迂回求解A3的概率，而A3的对立事件就是A2，因此，可以方便求得P(A3)的结果.

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通过设置A1,A2,A3事件，由浅入深，循序渐进，引导学生思考.让学生掌握将复杂问题分解为若干简单问题，再逐个击破的思维方式.

2.3应用拓展

放球模型作为一个数学模型，在实际应用中，将球和盒子赋予不同的内容，可以解决不同的问题.比如生日问题、生日攻击、抽屉原理等等.

2.3.1生日问题

(i)生日问题求解

回归到引例，生日问题就是引例中提到的缘分.在此可以设计互动环节，先与学生交流，让学生估计概率的大小，并且按照学生的思路向问题的反方向引导，提出“30人与365天相比，不足1/12，这样的概率会多大呢？10%，20%，50%？”等问题，这样做是为了与计算结果形成巨大反差，为后续生日悖论的提出打下伏笔.

生日问题与放球模型的联系在于，寻找生日问题中的“小球”和“盒子”，生日相同也就是两球在同一盒子中.那么，在这个问题中同学是小球，日期是盒子，30个人的班级，有两人生日相同的概率则为

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为了进一步加深学生对抽象问题的理解，从本质掌握概率是描述统计规律的一门学科，在此利用Matlab编制程序，模拟实验过程.

(ii)生日问题仿真

实验设定为100次，观察实验中出现有人生日相同的次数.

仿真结果分3个部分展示，第一部分为试验结果，如图1上半部分所示，其中横坐标代表试验次数，也就是观察了多少个班级，纵坐标代表一年365天，每一列是随机产生的30个数字，代表30个人的生日，如果出现生日相同则用“*”标志.第二部分如图右下部分，为频数图，右面的柱子代表试验次数，左面的柱子代表生日相同发生的次数，也就是频数，频数与试验次数的比值，即为频率.从结果可以看到，本组试验恰好为71/100=0.71与刚才计算的概率值(0.706)非常接近.第三部分是频率与概率比较图，如图左下部分.这个图形中直线就是所计算的概率值0.706，而波形线就是随着试验次数的进行，不断变化的频率，频率的稳定性得以体现，也就是，当试验次数少的时候，频率的波动幅度大，而试验次数的增加，频率趋于稳定值，这个稳定值就是事件发生的概率.这个结论是否有严格的理论依据呢？这个概率论的“根基问题”，将在第五章大数定律教学中，给出严格的数学证明.同时，现实概率的研究问题中，正是通过随机试验来对随机现象的统计规律进行研究，而生日问题的模拟试验，在短时间内进行大量重复试验，让学生对概率统计意义定义有更深入、直观的理解.

图1　生日问题仿真实验

(iii)实际数据检验

选取我校2005～2012级本科生班级，验证生日问题的结果.

图2　生日问题实例

图2中的柱子高度为当年的班数，深颜色代表出现相同生日的班数，折线就是频率，最终的合计，全校共930个班级，出现生日相同的有654个，比例为70.32%，与前面计算的70.6%很接近.实际数据检验的结果与理论计算相吻合.

2.3.2生日悖论

进一步对至少两人生日相同的概率P(B)和有人与“我”生日相同的概率P(C)关于m的函数图像进行讨论：

图3　生日悖论图

从图中可以看出，m=60时的时候，N(N≥m)，P(C)的值差别很大.同样对于P(B),P(C)取相同的概率值，对应的,也差别很大.当m=12时，P(B)=0.18，而P(C)=0.18时，对应的m=73，这就是我们感性认识和理性计算的矛盾，因此才有生日悖论问题.进一步观察P(B)曲线，可以得到，随着人数的增多，出现生日相同的概率以惊人的速度增长.一个宿舍六个人，有人生日相同的可能性为0.04，而人数变为15时，概率却扩大了6倍，当24人的时候已经超过50%.而刚才的44位总统中，有人生日相同的概率为0.93，所以才有那么多巧合.在现实生活中，出现生日相同是个缘分，是件好事，可是在某些科学研究中，这样的“缘分”未必是件好事，引出生日攻击问题.

2.3.3生日攻击

生日攻击问题的一个重要应用就是对文件进行加密.在密码学中，经常使用Hash函数对明文密码进行加密，例如常用的MD5加密算法就是这样的一种Hash函数.Hash函数的定义为：输入可以是任意长度字符串；而输出必须是固定长度二进制编码，一般为64，128bits等；其目的是为需认证的数据产生一个“指纹”[5-7].

当然在转换的过程中，希望不同的字符经过Hash函数处理后，变成不同的编码.但是，如果将输入的字符串作为小球，固定长度的二进制编码作为盒子，根据前面讨论的结果，随着小球的增多，两球落入同一盒子的可能性增大.对应Hash变化来讲，就是不同的字符串对应了相同的编码，此时称发生了Hash碰撞，碰撞则意味着容易伪造或欺骗，也就是对于不同的需认证的数据产生了相同的指纹(相当于用两把不同的钥匙打开了同一个房间).由于这个问题是密码学家根据生日问题引入的，所以将其称为生日攻击.

那么该如何减缓这样的碰撞呢？根据前面的讨论，碰撞的可能性不但与m有关，还与N有关，那N如何变化可以减缓碰撞的可能性呢？

当m固定时，观察N(N≥m)与碰撞概率P(B)之间的关系：

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进一步作出P(B)关于N,m的函数关系图，如图：

图4　生日攻击问题图

图4展示了不同N,m与碰撞概率之间的关系，从上到下对应的N值分别是100，500，1000，5000和10000.从图中可以看出对于相同的m,N越大碰撞发生的概率就越小，也就是说N的增大，可以有效减缓碰撞发生的可能性.因此密码学中，散列值需要足够大，才能抵抗生日攻击.

自上世纪80年代末期，随着IT时代的兴起，密码学越来越受到重视，而与此同时产生了大量关于生日悖论和生日攻击的研究论文，直至今日生日悖论和生日攻击仍是国内外学者关注的热点问题.让学生进一步体会，概率在现代科学发展中依然绽放着的旺盛的生命力.

2.3.4抽屉原理

以上范例均是关于放球模型都是球数小于盒子数，如果将条件互换，也就是说盒子数小于球数，两球在同一盒子的概率就变为1，也就是个必然事件.这个必然事件是组合数学中非常著名的抽屉原理，也叫做狄利克来原理，具体如下：将n+1个球放入n个盒子中，必有两个球在同一盒子中.提出问题：北京人中有没有两个人头发根数相同？引发学生的讨论和思考.如何利用抽屉原理解决该问题，转化问题：所谓两人头发根数相同，其实就是两球在同一盒子中，所以，选头发数作为盒子，北京人是小球.据《北京统计年鉴2012》，北京人口数为1277.9万，人的头发平均有12万根，我们以20万根为限度，也就是说人数远大于头发数，根据抽屉原理，我们将得到北京人中至少有两人头发根数相同的结论.

最后，给学生留一个思考题：公安机关使用DNA和指纹作为认定犯罪嫌疑人的根据是否合理，不同的人会不会有相同的DNA和指纹呢？将学生的学习兴趣延伸到课堂以外，在不断思考中提升自己.

学习数学的目的就是应用数学知识去解决实际问题，而要想让学生体会到数学的应用性，就要从构建数学模型的角度上来认识并加以实行[8].本单元的教学设计中，结合放球模型这一知识点，选用与实际生活密切相关的案例，引导学生将生日问题、生日攻击、抽屉原理等实际问题转变成数学中的问题——放球模型，让学生理解并掌握构建数学模型的方法，提高学生“学以致用”的能力.

3　结　　论

笔者总结十多年的教学经验，通过引例导入、提出问题、分析并解决问题和应用拓展的教学模式，以“学以致用，用以促学”为教学理念，采用“动画演示、计算机仿真模拟、现实数据检验”等教学手段，设计了放球模型的整个教学过程.

教学过程遵守循序渐进、层层深入的原则.首先，引例的生活化、情景化，提高了学生的兴趣，激发了学生的求知欲，进一步引导学生构建理论模型，培养学生从实际中抽象出理论知识的能力.其次，介绍理论知识时，注重模型与实际的关联性.比如在讲解放球模型时，引导学生了解该模型是抽象出来的，当球与盒子赋予不同的含义，就可以解决不同的问题，让学生真正地理解理论知识.最后，设计了与生活、科研密切相关的三个案例，让学生体会到数学的实用性，在潜移默化中培养学生用概率知识解决实际问题的能力.课堂教学的向外延伸，使学生将枯燥的数学知识与鲜活的生活和科研结合在一起，达到“学以致用”的目的；同时，通过解决实际问题，又可以“用以促学”，最终达到“学用相长”.

另外，设计的案例具有层进性和递进性.首先，选用贴近生活的实例——生日问题，不仅便于学生接受和理解，而且能充分让学生体会到数学知识与生活息息相关，感到“学有所用”；而后，通过学术论文，展示放球模型在学术研究中的应用——生日攻击，培养学生深入挖掘知识的能力，让学生了解模型在密码学中的应用，提升知识层次，激发学生探究新知识、新领域的兴趣；最后，调转研究前提条件，展示抽屉原理，培养了学生的转化思维的能力.

实践证明，本单元的教学设计不仅能够提高激发学生兴趣，提高教学效果，而且提高了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力，培养学生的创新精神和独立思考的能力.

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The Instructional Design of “Putting Ball Model” Based on the Idea of “Study Guided by Application”

ZHAO Lu-tao1， LI Ye2， ZHANG Zhi-gang1， WANG Rong-ming1

(1. School of Mathematics and Physics ,University of Science and Technology,Beijing 100083,China;2. Basci Experimental Center for Natural Science,University of Science and Technology,Beijing 100083,China)

We design the teaching of “putting ball model” based on the idea of “study guided by application”. The main parts include quotes、putting question、solving problem and expansion. We put forward three cases-The birthday problem, birthday attack and Dirichlet principle. The information technology tools are also used during the class. Practice indicate that the teaching design stimulates students′ motivation and enthusiasm, improved the basic knowledge system, contributed tocultivating students′ capability of scientific and technological innovation, and improved the quality of teaching.

study guided by application; teaching design; putting ball model

2015-04-21；[修改日期]2016-06-06

北京高等学校教育教学改革立项项目(2015-ms028)；北京科技大学教育教学改革项目

赵鲁涛(1979-)，男，博士，副教授，从事统计与优化研究.Email:LTZhao@ustb.edu.cn

O211.5

C

1672-1454(2016)04-0056-06