概念教学:积跬步以至千里*

江苏省如皋市教师发展中心　王兴富江苏省如皋市石庄镇初级中学　印冬建

概念教学:积跬步以至千里*

概念是反映对象的特有属性的思维形式.它源自人们的实践,是人们从对象的许多属性中,抽象出来的特有属性.由此可见,概念的获得应是一项系统工程.在数学教学中,任何一个概念的教学都应该遵循概念生成的基本规律进行,我们应在实例剖析的过程中抽象概念,在辨析应用中关联概念,使之网络化.而当一些高位概念出现时,要迅速将一些简单的低位概念融入进去,使之被兼容合并成为新概念(或知识)的一部分.现结合初中数学几个常见代数概念的教学谈谈笔者对此的思考,希望能给您带来一些启示.

一、概念首认知:剖析实例,抽象本质

概念来自于实践,概念教学自然也就离不开实践了.所以,概念教学应通过紧贴学生生活的具体事例来引入概念,适时归纳、抽象、概括,最终以规范的数学语言呈现出来.在人教版初中数学教材中,代数概念的教学一直与生活实例紧密联系在一起.几乎每一次概念教学,都会出现一个或多个实际问题构成的数学情境,这些数学概念巧妙地"隐藏"其中.在对实例分析的过程中,这些概念自觉或不自觉地会显露出来,成为课堂教学的主角.

案例1"1.2.4绝对值"教学片断.

问题:两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶了10km,到达A、B两处.它们的行驶路线相同吗?它们行驶的路程相等吗?

教师呈现问题后短暂停顿,学生读题并思考.

教师:请大家借助数轴来描述这一问题情境.

学生作数轴,2分钟后,教师投影学生作出的图1(不含图中的箭头).

教师:两辆汽车行驶的路线相同吗?

学生(齐):不同!

教师:为什么?

学生1:它们行驶的方向不同.

图1

教师:那远近相同吗?

学生2:相同.

教师:行驶了多远?

学生3:10km.

教师:从哪儿到哪儿是10km?

学生4:点A到O.

教师:还有吗?

学生5:点B到O.

教师:很好!这两个点到原点O的距离都是10吗?

学生(齐):是的!

教师:这个10和运动的方向有关吗?

学生(齐):没有!

教师:那与什么有关呢?

学生6:终点与原点的距离.

教师:是的!生活中好些问题落到数轴模型上时,只需要看表示某个数的点与原点的距离.这个"距离"就是我们今天要学习的"绝对值".

投影绝对值的概念及其表示方法.

教师:根据这里给出的概念,你能结合图1说说|10|和|-10|的含义吗?

学生7:|10|是数轴上表示10的点到原点的距离.

学生8:|-10|是数轴上表示-10的点到原点的距离.

教师:非常棒!根据刚才的分析,|10|和|-10|是多少呢?

学生9:10.

……

案例分析:在人教版七年级上册《教师教学用书》中,对数轴、相反数、绝对值等概念提出了"注意从实际问题引入"的教学要求.案例中的"汽车行驶问题",就是教材根据这一教学需求而设计的:要刻画汽车的运动状态,不仅需要考虑汽车的运动距离,还应考虑汽车的运动方向,这与学生的生活经验是一致的.教师通过递进追问,引导学生充分剖析教材所给实例,抓住汽车运动的方向和运动的路程逐一解读,最终抛开问题情境,以"生活中好些问题落到数轴模型上时,只需看点与原点的距离"切入主题,"这个'距离'就是我们今天要学习的'绝对值'"一语揭题.接下来,概念的抽象和应用显得非常自然.在人教版教材中,绝对值是学生初中阶段遇到的第一个较难的概念,需要从数、形两个角度加以解读才能真正理清其内涵.所以,教学中,如果从一个实例还不足以清晰地抽象出概念,那么我们还可以增加一至两个实例,给学生以更为充分的感知,从而扫清概念生成的障碍.

二、概念再解读:辨析应用,关联入网

为了让概念很好地融入到学生的知识结构中,辨析与应用就显得非常重要了.数学概念是数学基础知识的重要组成部分,它是学生学习新的数学知识和解决数学问题的重要工具.因此,学习数学概念的过程也是概念发挥自身价值的过程.当学生获得数学概念后,我们应编排适量的"隐藏"概念模型的数学问题,让学生通过对这些"源于概念而又高于概念"的数学问题的解决,实现概念间的相互关联,促进其早日融入到学生的概念网络中去.

案例2"反比例函数"教学片断

在经历了"实例分析,本质抽象,归纳成型"的历程后,教师引导学生归纳出反比例函数的概念并投影.

例1下列哪些关系式中的y是x的反比例函数?

教师:为什么?

学生2:与概念一致!

教师:哪里一致了?

学生3:形式一致.

教师:具体点!

教师:很好,只要所给关系式变形后与概念中的基本形式一致,y就是x的反比例函数.那么,有哪些关系式可以转化为基本形式呢?

学生5:xy=k.

教师:对这里的k有要求吗?

学生6:k为常数,且k≠0.

教师:看来这是个不能丢的前置条件.对此,你们有经验吗?

学生(齐):有!

教师:什么地方出现过?

学生7:和k一样,一次函数y=kx+b中的k,二次函数y=ax2+bx+c中的a,都应是不为0的常数.

教师:记得真清楚!函数看似形式不同,其内在还是有很多相同的地方的.接下来,我们再来看这道例题,看看与前面的函数有没有关联?

例2已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.求y关于x的函数解析式.

学生自主解答,3分钟后,全班交流.

教师:"y是x的反比例函数"说明y与x应该满足怎样的关系式?学生8:y=(k为常数,且k≠0).教师:好的!得到基本关系式后,该如何求解呢?学生9:将"x=2,y=6"直接代入,就可以求出k的值.教师:说得真好!这是什么方法?

学生10:待定系数法,求一次函数和二次函数解析式时就用过.

教师:看来待定系数法在反比例函数中也是适用的哦!接下来我们来一起欣赏一位同学给出的"范例".(投影,如图2)

图2

案例分析:与案例1一样,反比例函数的概念同样来自于实例的抽象归纳.与前面学习的两个函数概念一样,基本形式是其概念的"内核",是学生解决数学问题的工具.例1中,教师首先给出了几个y与x的关系式,让学生对其辨析,从中找出"y是x的反比例函数"的关系式.通过教师的问题引导,学生不仅明晰了概念本质,还及时唤醒了一次函数、二次函数概念辨析的经验,为下一步"待定系数法"的解题应用埋下伏笔.接下来,例2的解答与交流,将待定系数法的适用范围由两种函数拓展到三种函数,使新学概念在原有知识体系中找到了"生长点".显然,学生获得反比例函数的概念,仅是学习的起点,当这一概念与前两种函数知识链接在一起时,学生获得的知识就不再"单一"了.

三、概念终定位:去繁归简,融入淡出

概念不是永恒不变的,随着知识的集聚与能力的提升,概念在人的认知结构中的地位和作用也会发生相应的变化.在学生获得的众多数学概念中,有些是非常简单的,《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标(2011年版)》)提出了较低的能级要求,甚至没有提出具体的要求.这些概念往往属于学生知识获得过程中的"中间概念",是高一级概念生成与应用的"跳板",当学生获得高一级概念时,这些概念将会被逐步兼容合并,其地位和作用将会被新的概念替代.

案例3一元一次方程的认知历程.

1.初识别

人教版七年级上学期"3.1从算式到方程"中,以一个实际问题引入,让学生初步感知了"从算式到方程是数学的进步".接下来,给出三个实际问题要求学生设未知数并列方程,这里列出的就是三个一元一次方程.据此,在充分剖析所列方程特点后,将一元一次方程带进学生视野.接下来,将重点探究其解法和应用.

2.再认知

人教版七年级下学期"8.2消元"中,明确了"消去'二元'中的'一元',方程组就转化为了一元一次方程".解法探究过程中,教材安排学生进行了消元尝试,向学生明确消元的一般步骤,同时也将消元的成果定格,使一元一次方程再度回到学生的眼前.

3.三明晰

人教版八年级上学期"15.3分式方程"中,再次出现"一元一次方程".通过去分母,可以将分式方程转化为学生已经熟悉的一元一次方程.所以,解分式方程的过程中,一元一次方程是一个绕不开的"坎",学生仍然要让七年级上学期获得的概念及解法再度"回归".

4.终定格

人教版八年级下学期"19.2.3一次函数与方程、不等式"中,将以x为未知数的一元一次方程定格为"ax+b=0 (a≠0)",这是符号化的一元一次方程.在学生经历多次概念及解法的应用后,这里通过"符号"将概念进一步抽象,实现了认知的再提升,为以符号的形式给出一元二次方程的概念提前铺垫.

5.渐淡出

人教版九年级上学期"21.2一元二次方程的解法"中,配方和因式分解的目标都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程.与分式方程一样,一元一次方程是一元二次方程解法分析的起点和归属,任何一个有解的一元二次方程都可以转化为两个一元一次方程.至此,一元一次方程的概念和解法已经彻底融入学生已有的知识网络之中,被其他复杂的方程(组)所合并兼容.

案例分析:任何一个数学概念的获得,都会经历"陌生-熟悉-淡'忘'"的过程.作为最基础的方程,一元一次方程的概念学习也不例外.《课标(2011年版)》中并未对其概念教学提出明确要求.因此,我们一般认为它是一个"中间概念",主要服务于其他概念的学习.从上面的分析看,教材正是按照这样的思路设计的.初中阶段的六个学期教学,每一个学期都会有它的"身影",概念教学要求不高,"了解"即可,但又不可缺失,每一次出现都在学生获得新知的节点上,过了这一节点,它又默默"潜入"到学生解决问题的过程之中,不显山不露水.最终,随着学生对方程认知的不断深入,高位的方程概念将会把一元一次方程的概念兼容,使之逐渐淡出学生的视野.

概念的形成是一个复杂的过程,影响学生获得概念的因素有很多,知识能力的基础、引入情境的创设、辨析应用的安排等都会对概念的"网络化"产生"正反双向"的干扰.所以,身在一线的我们应关注概念自身的特点,找准概念引入的"起点"、抽象的"难点"和应用的"拐点",将概念教学置于学生数学学习的全程之中,进行"长程教学",让学生经历完整的概念学习及应用过程,在抽象归纳中感知概念的本质---获得概念,在辨析固化中体验概念的价值---用好概念,在兼容合并中实现概念的"升华"---淡化概念.这就是我们追求的概念教学,学生以"厚积"实现"薄发",其知识不断聚集,能力同步形成,个人的数学素养同样在不断提升.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012.

2.刘衍锋.浅析一元二次方程的解法及应用[J].中学数学(下),2012(12).

3.朱映红.情境创设再认识:值得重视的"超经验" ---李庾南老师"二元一次方程组"起始课赏析[J].中学数学(下),2015(8).

4.孙道斌.在体验、对比、交流中建构反比例函数概念---"§5.1反比例函数"课堂实录与点评[J].中国数学教育(初中版),2014(7).

5.林群.义务教育教科书.数学(七年级上册)[M].北京:人民教育出版社,2012.

6.林群.义务教育教科书教师教学用书.数学(七年级上册)[M].北京:人民教育出版社,2012.

*本文为江苏省教育科学"十二五"规划立项课题《农村初中复式分组教学的实践与研究》(E-c/2015/24)的研究成果.