APOS理论指导下的三角函数教学策略分析

俞静秋

[摘 要] 根据新课程的教学理念，学生是学习的主体，知识是学生充分体验后自主建构得到的，APOS理论是一种基于建构主义学习理论的教学模式，是能够充分反映数学学科特色的教育理论，在高中三角函数教学中应用该理论是可行的且是必要的，合理应用可以促进学生对三角函数知识内容理解的深化.

[关键词] APOS理论；三角函数；教学策略角

杜宾斯基等人为了解决“学生如何学习”这个问题，建立了APOS理论. 笔者在数学教学过程中发现APOS理论非常符合学生学习高中数学知识，本文选择三角函数教学这一视角，就APOS理论如何用于高中数学课堂教学进行分析.

APOS理论的内涵与特征分析

1. APOS的数学教学模式

APOS理论用于高中数学教学，教学的环节可以分为如图1所示的4个环节，相互作用构成闭合环.

2. APOS理论用于高中数学教学的特征

将APOS理论用于高中数学课堂教学，具有怎样的特征呢？笔者在实践中发现，两者结合有如下几个方面特征：

（1）APOS充分体现了数学学科的特色

APOS教学模式的几个环节非常符合数学概念的学习过程，学生的知识学习以“活动”为出发点，从数学思维过程所具有的“过程和对象的双重性”角度出发进行分析，在学习的重要环节中又将这两个角度汇聚到“协调反演”的“自反抽象”环节，最终建立图式促进知识的呈现与理解.

（2）APOS让数学学习变得更有意义

APOS教学理论源自于建构主义，皮亚杰的建构主义学习理论强调知识间的联结，APOS用于数学教学，协调反演的过程是学生顺应和同化的过程，将学生认知发展推向“图式”的深度，APOS教学的起点是“活动”，这让数学学习的过程更有意义，抽象、建构的过程是意义赋予的过程.

（3）APOS让数学知识具有完整的图式

为什么学生课堂上学会了概念，但是过了没多久就是不会用这个概念呢？笔者认为这个原因在于学生头脑中没有知识、概念完整的图式，APOS教学模式首先是学生数学学习的心理建构，在对数学对象和过程分析的过程中暴露出学生数学学习过程中存在的问题，为协调反演提供了基础，找准问题的“结”，这个“结”要解开和突破不容易，解开结的过程是学生在APOS闭合环中逐步分析、反应最终形成清晰、完整的概念图式的过程，有了这个过程，学生对概念的理解才会深刻，深入到数学对象的本质，自然很容易就能将概念迁移到数学问题的解决和新概念的学习中来.

APOS理论用于三角函数教学的必要性分析

对于高中数学中的三角函数教学，如何组织呢？下面就APOS理论用来组织三角函数课堂教学的必要性进行分析.

1. “三角函数”的知识结构分析

从“三角函数”这一章节的知识结构来看，如图2所示，编制概念图将这一章节涉及知识点进行了简单的罗列.

如果放到整个高中的数学学习中去观察，“函数”贯穿始终，而“三角函数”又是一个基本的、特殊的初等函数，它是桥梁，构架在“代数”和“几何”间的鸿沟之上，是实现数形结合的一条重要的通道，对“三角函数”的性质研究又是进一步研究周期性函数性质的重要窗口.

2. “三角函数”学习难度大

往往学习难度大的知识，如果我们采用灌输式教学，效果就会越差，因为学生没有过程体验，难以形成知识的链接，学习难度大的知识越适合使用APOS教学模式.

初、高中三角函数知识间的学习跨度大，在初中学生有一定的三角函数基础，但是初中只研究直角三角形中的三条边之间长度的比值关系，如此一来导致有相当一部分学生感觉到“三角函数”学习难度大，笔者也对这部分内容进行了分析，难度主要体现在如下几个方面：

（1）很多学生对三角函数的自变量理解上有难度，为什么可以是任意实数呢？

（2）初中阶段，学生学习的难度停留在“锐角的三角比”难度，现在研究的任意角的三角比出现了知识负迁移现象，难以理解为什么放到了坐标系里任意角的三角比就与终边上点的坐标构成联系呢？

（3）三角函数是高中阶段一个比较特殊的函数，函数概念上从“变量说”向“对应说”过渡，本身就是学生理解上的难点，三角函数又是学生在高中阶段学习到的唯一的系统性研究的周期函数，是学生在以往的函数认知系统中找不到的新的模块，知识的联结到实现图式的拓展是一个创新发展的过程.

正是处于以上几点原因，笔者认为三角函数的教学应该采用APOS理论，引导学生跳出自己的实践活动，反思自我学习概念的全过程，在过程中理解概念，构建图式，丰富学生自己的数学认知结构.

教学案例——“三角函数的周期性”

“周期性”是“三角函数”一个极为重要的性质，也正是因为三角函数具有周期性，因此三角函数在高中阶段是学生研究周期性运动的重要的数学模型，也是它区别于其他初等函数的重要特征. 当然，学生学习过程中也会遇到不少的困难，借助于APOS理论组织“三角函数的周期性”学习的设计与过程如下：

1. 活动阶段

活动是APOS教学模式的发端，对于这节内容，可以设置如下具有情景的活动，调动学生的思维，在活动中思考.

活动1：生活中大家有没有遇到“过了一定的时间又重复出现”的现象，如果生活中有留意，请举例.

活动2：数学中有没有这样的现象？

设计意图：引导学生从生活中抽象出“周期”的概念.

2. 过程阶段

在上一阶段，引导学生抽象得到了“周期”的概念，接下来引导学生充分地体验“周期函数”定义的生成过程.

过程1：我们前面学习了正弦函数和余弦函数，大家回忆一下，是否也存在“周期现象”？

设计意图：引导学生借助单位圆发现周期现象，并用符号表征为：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx.

过程2：当学生得到了上一个过程的两个等式后，要求学生分析等式的成立和x的取值存在怎样的关系.

设计意图：将学生的注意力再一次引向单位圆和定义域的思考.

过程3：如果将角x逆时针旋转一周、两周……更多周，得到的角如何表示？得到的这些角的正弦值和余弦值与角x存在怎样的关系？（如果顺时针旋转呢？）

过程4：通过过程3，你可以得到怎样的规律？

设计意图：从角的旋转这一具体的实践操作出发，引导学生体验“当终边相同时，函数值会重复出现的过程”.感受“周而复始”，生成描述这种性质的心理需要.

3. 对象阶段

对象1：从过程阶段的问题讨论，给出周期函数的定义.

在得到周期函数的定义后，再引出如下问题引导学生进行反思.

的周期.

设计意图：体验设最小正周期T，然后结合求解的方法与过程，建立基本题的图式.

图式2：求函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A，ω，φ均为常数，且A≠0，ω≠0）的周期.

设计意图：渗透化归和换元的数学思想，体验借助于定义解决与三角函数相关的复合函数周期的问题，建立思维图式.

图式3：回顾小结，课堂所学，帮助学生构建心理图式.

回顾1：你认为周期现象是怎样的？

回顾2：你是如何理解周期函数的？

回顾3：你认为函数周期的定义中有哪些关键词？你是怎么理解的？

回顾4：你会求一些常见三角函数及其复合函数的周期么？

在反思、回顾和总结的过程中，引导学生抓住记忆和应用的要害，促进知识联结的进一步强化.

当然，APOS理论不仅可以应用到三角函数教学过程中，在其他概念教学中也能起到良好的教学效果，让学生的数学学习过程变得自然，知识与方法在过程研究和对象研究中得以有效延展，学生的思维得以充分调动，数学知识学习变得有意义，图式变得严谨而有序，课堂上充满了生机和活力.