中美小学数学教材有关“真实问题解决”编写比较

李寅芳　王　倩

(1.华南师范大学教育科学学院，广东 广州 510631；2.北京师范大学教育学部，北京 100875)

中美小学数学教材有关“真实问题解决”编写比较

李寅芳1王倩2

(1.华南师范大学教育科学学院，广东 广州 510631；2.北京师范大学教育学部，北京 100875)

[摘要]问题解决是当今国际数学教学研究的重点和热点问题，受到世界各国数学界的关注。为了解新课改背景下我国与美国数学教材中“真实问题解决”的异同及特色，本文选取人教版和美国加州版四年级数学教材，分析了“真实世界问题解决”模块在学段目标、背景素材、内容编排和文本表征上的编写特点。结果显示：加州版课程目标设置更具体，取材领域广泛，知识点安排超前，尤其是实景图的表征更契合学生生活和年龄特点。这为我国小学数学教材建设和一线教师用书提供一定的借鉴和参考价值。

[关键词]加州版；人教版；数学教材；真实世界问题解决；编写比较

一、比较背景：数学教材中的“问题解决”(problem solving)模块备受关注

问题解决是当今国际数学教学研究的重点和热点问题，受到世界各国数学界的关注。在新世纪国际课改的大背景下，中外各版本数学教材尤其强调以“问题情景”为切入点，课程目标特别突出以解决数学问题、发展学生各类数学思维为主要内容，如批判性思维、抽象逻辑思维、空间思维等。[1]问题解决是当前美国数学教育的核心部分，如美国加州版小学数学教材[2]中问题解决占据教材版面的25%以上，发现问题、解决问题贯穿学习内容的始终。英国把问题解决看作是一种良好的教学模式和指导思想，而日本和新加坡把问题解决纳入教学大纲中。以上各国颁布的文件和召开的会议也都侧重数学学习中的“问题解决”，足见其在数学教育中的重要地位。

二、概念界定：真实世界问题解决

1.数学问题解决是涉及大量学习过程和策略的一种复杂的认知活动

蒙塔格(Montague，2006)将数学问题解决定义为问题呈现和问题执行的过程，强调问题要以恰当的形式呈现。[3]因为恰当的问题呈现暗含着学习者理解将要解决的问题，教师能成功地引导学生制定解决问题的计划。而梅尔(Mayer，2003)认为数学问题解决包括读问题、整合信息、制定和执行计划四个认知过程。学校数学课程的重点是数学问题生活化，即在真实的日常生活环境和故事性问题中，按由简单到复杂的顺序呈现“最常见的问题解决形式”，而包含故事性生活背景的数学问题对儿童更具挑战性。[4]

2.用认知模型诠释数学问题解决的过程

数学问题的解决需协调好认知与元认知的过程，它涉及总结问题信息(要求去做什么)、定义和澄清问题(已知和困惑)、呈现问题(感觉是什么类型的问题)、拟定问题解决的方法(哪种方法在起作用)。[5]

詹妮弗(Jennifer)基于梅尔(Mayer)设计的数学问题解决模型以及蒙塔古(Montague)等人经过一系列成功问题解决的实验研究所证实的七种认知过程，在其有关问题呈现和问题解决的论文研究中对数学问题解决做了一个明确的范围界定，他认为数学的问题解决涉及问题的解读、问题的分析和整合、解决方案的制定、方案的执行四个基本阶段。它强调问题呈现对问题解决所起的关键作用，正如西尔弗(Silver)在2000年国际数学教师委员会提出的问题呈现是学生深入理解数学问题必不可少的条件[6]。

综上所述，虽然各学者对问题解决的定义有所不同，但是基本上涉及发现问题、呈现问题、解决问题三个部分。根据研究的需求，笔者认为真实世界问题解决(Real-World Problem Solving)不是简单地解决一个数学问题，而是强调在现实生活中发现、澄清并解决数学问题的过程，促成知识的应用和创造。

本文选取了我国人民教育出版社出版的(简称人教版[7])和美国加州版[2]四年级数学教材，基于“真实世界问题解决”模块的梳理，本文将从课程学段目标、背景素材的选取、内容编排、文本表征方式四方面进行比较研究，希望对数学教材建设和一线教师教学工作能有所帮助。

三、比较维度

1.课程目标的比较

小学数学涉及数与代数、空间与几何、统计与概率、综合与实践四大学习领域。为了研究的便利，仅以四年级“数与代数”领域为例，透过课程目标、内容展示和能力频数，分析两版本教材在问题解决能力要求上的差异。分析结果表明：在课程目标上，我国对问题解决能力的描述较为模糊，无年级上的区别；而美国加州对此描述详细具体，有年级界限和实例。在内容展示上，加州版超前引入“代数”、“负数”的学习，对学生思维能力要求更高。在能力频数中，加州版注重培养学生掌握和应用知识的能力；而我国则倾向关注学生各方面能力的均衡发展(具体内容如表1)。

表1　两版本教材在问题解决能力要求上的差异

2.背景素材选取的比较

图1　加州版出租车的收费标准

本文将真实世界问题解决的背景素材分为三种类型，即各学科背景、生活背景以及数据档案。两版本在背景素材的选取上都注重生活背景，尤其是社会生活部分。人教版题材选取的领域比较单一，而加州版更关注各学科背景和数据档案的取材，详见表2。

(1) 相同点：都注重生活背景，尤其是社会生活部分的选材。由表二可以看出两版本在“真实世界问题解决”背景素材的选取上都注重生活背景，尤其是社会生活部分(表2)，如加州版的出租车的收费标准(图1)和人教版的春游租车活动(图2)有着惊人的巧合。

表2　两版本教材有关“真实世界问题解决”背景素材选取的明细

图1呈现的问题是用右边出租车收费标准列方程解决20，25，30英里要付多少钱？这是用列方程法解决乘车费用的问题，同时包含对美元、英里的认识。素材来源于学生日常乘出租车的经历，关注学生日常的生活经验，有助于解决数学知识在交通问题上的应用问题。

图2　人教版春游租车活动收费标准

图2是用四则混合运算解决春游中租车问题。素材同样是选取学生最喜爱的春游活动，在这种真实场景中去解决真实的问题——哪一种租车方式最划算，贴近学生的实际经历，从小培养学生的理财能力。

两版本都注重数学与学生实际生活的联系，让学生感受数学不仅在自己身边，还可以用数学解决生活中的实际问题。通过将数学问题解决与真实世界联系在一起，让学生感受到数学作为一种生活工具的同时，也锻炼了学生的思维能力，帮助学生从生活中发现并提出数学问题，将数学知识与方法迁移到真实的生活情景中去。

(2) 不同点：人教版题材选取的领域比较狭窄、类型单一；加州版选材更广泛，侧重各学科背景和数据档案的取材。美国加州版“真实世界问题解决”模块不仅注重选取与学生息息相关的生活背景，也特别关注各学科背景和数据档案。美国加州版四年级教材有关真实世界问题解决的生活背景占48%(29/61)，各学科背景占36%(22/61)，数据档案背景占16%(10/61)。而人教版关于真实问题解决题材选取的领域比较单一，大都来源于生活背景，很少涉及其他的学科领域，忽视数据档案背景。因此加州版背景素材的选取比人教版更具广泛性。素材选取的广泛性一方面可激起不同层次学生对数学学习的兴趣，这是因为考虑到了不同的背景材料可以照顾到学生的个体差异性，帮助学生找到自己喜欢的领域，拓宽学生的知识面和视野；另一方面可淡化学科的界线，增强数学学科的综合性。

3.内容编排的比较

内容编排是指某一具体的内容在教材中的编写和安排方式。[9]本文从“真实问题解决”在教材中的安排方式及其内容所涉及的知识点两个方面对两套教材中“问题解决”内容编排进行分析比较。

(1) 在教材中的安排方式。一是在整个教材中的安排方式。人教版小学数学四年级教材一般把现实世界的问题解决放在每节课的“课后练习”和“生活中的数学”这两个部分，并与其他的模块混合在一起(如计算、数学思考等)，主要是对每个课时所涉及的重点知识进行巩固、应用和提升；而美国加州版教材是在每节课的习题后加上真实世界的问题解决(Real-World Problem Solving)，并且把它作为一个单独的模块编排进教材中。加州版教材这样处理这一模块的原因大概有：突出Real-World Problem Solving(真实世界的问题解决)的重要地位；作为课外积累数学小知识的重要来源(Data File)；强调数学在真实生活世界中的应用；复习巩固所学的知识。二是在自身特色栏目中的安排方式。小学数学四年级教材一共有16章，每章包括3～6个“Real-World Problem Solving”，每个真实世界的问题解决的左边都包含主题词(Science/Art/Technology等)，主题词后有提示语，提示语下有2～5个问题。其右边是真实世界的主题图，常包含问题解决中的信息和线索，如图3真实世界的问题解决的主题词是技术，其后的提示语告诉学生右边的电脑桌面显示的是四种常用的网络语言，提示语下呈现几个问题：网上哪一种语言应用最广泛；网上较少用日语还是西班牙语？右边是一台电脑，电脑桌面里有四种网络语言的用户数量。

图3　加州版四种流行的网络语言用户数量调查

图4　人教版体检时间的优化问题

这些突出真实世界的问题解决编排非常详细、有序，但真实世界的问题解决的主题词分类不明确，易造成混淆，如希腊的万神庙是古建筑中的经典，其主题词不是“建筑”却为“社会科学”。而人教版的编排相对而言就显得比较简洁，如图4体检时间的优化问题只有问题和5张图片。

问题：三位同学要去量身高、验视力，每项检查都要3分钟，他们至少要用多长时间能做完这些检查？

(2) 内容所涉及的知识点。按照“数与代数”、“图形与几何”、“概率与统计”、“综合与实践”四个领域，通过梳理两版本四年级教材共同的知识点和不同点，以表格的形式呈现，详见表3。

表3　两版本教材知识点安排

两版本教材在数与代数、图形与几何两个领域涉及了相同的知识点。加州版该模块的内容涉及四大领域的每个知识点，且方程与解方程的内容比人教版提前。人教版只涉及数与代数、图形与几何领域中的部分知识点。由此可见，加州版比人教版在该模块所涉及的知识点范围更广阔。

4.文本表征方式的比较

加州版更贴近真实世界、学生生活。中国《数学课程标准》(2011年版)教材编写建议中指出“教材的编写要体现可读性，对于第二学段的学生因他们具备了一定的文字理解和表达能力，所以教材的呈现应在运用学生感兴趣的图片、表格、文字等形式的同时，逐渐增加数学语言的比重”。[1]美国的NCTM标准对表征方式的要求与中国的基本一致，并且在教材中的呈现比人教版体现得更为简洁、明了、重点突出。如图5和图6分别选自加州版“四国道路的长度”和人教版“八大行星与太阳的距离”，两图的知识点都涉及对大数的认识、大小比较问题。图5用文字、表格、图片、数字描述了法国、加拿大、西班牙和俄罗斯四国道路的长度，为问题解决提供直观的材料。而图6采用同样的四种表征方式描述了八大行星到太阳的平均距离，为标出各行星的名称提供直观的材料。不同点在于加州版的图像表征都采用真实世界的实景图，无论是动物、食物、建筑还是人物都真实的、具体的；而人教版图片大都采用素描画、卡通画，如图4中的学生和医生都是一般化象征。因此加州版教材在图像表征上比人教版更真实、具体。

图5　加州版四国道路的长度问题

问题：根据各行星到太阳的平均距离，分别写出它们的名称。

行星到太阳的平均距离/千米火星227940000天王星2870990000地球149600000金星108200000水星57910000木星778330000海王星4504000000土星1429400000

图6八大行星与太阳的距离问题

四、启示：重实用性、生活化，聚焦问题解决

真实世界问题解决生活化和实用性的区别在于：美国教材将问题解决置于真实生活的场景中；中国教材侧重学生综合自己所学的知识去解决真实世界中的问题。

1.真实世界问题解决应注重实用性

将各学科知识融合进数学学科真实世界的问题解决中，淡化学科的界线，增强数学学科的综合性。小学四年级教材应选取多元化的背景素材，尤其是各学科背景素材的引入增加了数学知识与其他学科之间的关联性。2011年版《数学课程标准》提出：数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系，随着学习的深入，其他学科(自然科学、社会科学、人文科学)的知识也就成为学生的“现实”。由于数学知识所具备的“基础性”特征，使得我们在学习其他相关学科内容时经常遇到数学，或者在解决其他学科学习中的问题时，经常用到数学知识。因此，对某些特定的数学课程内容而言，学生已经掌握的其他学科知识中存在一些相关内容，可以成为学习数学课程内容的基础、素材。在这样的学习过程中，既可以加深对所学数学的理解，反过来也将促进学生对于数学是其他科学的语言和工具的理解。生活中处处都要用到数学，将各学科知识融合进数学学科真实世界的问题解决中还有助于增加学生知识的总量，增强对知识灵活运用的能力。

2.真实世界问题解决应强调生活化

(1) 教材编写可选取广泛的生活素材，将问题解决置于真实世界中，贴近学生的实际生活，提高学生学习数学的兴趣。

(2) 创设多元化的文本表征，可以将复杂抽象的问题转变为学生熟悉的、有意义、有趣味的问题。此外“通过多元表征对数学生活问题进行多样化的解释，有利于学生新旧知识的联系，为构建新的知识做好铺垫，从而降低外在负荷，增加有效负荷，最终释放学生学习过程中的总认知负荷，从而减轻学生的学习负担，提高学习的效率”[10]。

3.真实世界问题解决应聚焦问题解决既是学生学习数学的重要方式，也是数学教师重要的教学方式

(1) 真实世界问题解决是学生学习数学的重要方式。问题解决不仅是学生学习数学的一个目的(在真实的世界中去解决真实的问题)，也是学习数学的一种主要方法(问题解决法)。

一方面，学生可以通过真实世界问题解决对数学形成新的认识；另一方面，学生也在真实世界问题解决的过程中形成了新的能力，增强数学学习的兴趣。如美国教材中有关“money”问题解决，通过自设一个方程和解方程两个问题，让学生意识到数学就在自己的身边，用方程解决自己工酬问题，提高数学学习的兴趣。同时也逐步培养学生的理财能力，提高学生的独立生活能力。据美国Snagajob.com小时工网站做的一个统计：美国小学有三成多的学生暑假从事各种社会兼职，这正印证了加州版教材十分重视从小培养学生独立生活能力的宗旨。

督促学生补充课外的数学小知识，提高学生在平时生活中积累数学知识的意识。加州版四年级数学教材一共有16章，每一章的真实世界的问题解决(Real-World Problem Solving)基本上都包括一个数据档案(Data File)，如第一章数据档案所展现出来的数字卡片(Data Card)有鲸鱼的种类(蓝鲸，灰鲸，驼背鲸及虎鲸)、迁徙距离及数量，又有对灰鲸的介绍和两个排序问题(由远及近排列各鲸鱼的迁移距离；由小到大排列各鲸鱼的数量)。如果学生在平常生活中已积累了一些有关鲸鱼的常识，将使两个排序问题变得更加简单，同时也加深了对“亿以内数的认识”。这就提示学生在课外多补充、多积累有关鲸鱼的数学知识。

(2) 真实世界问题解决也是数学教师重要的教学方式。小学数学教师通过“真实世界问题解决”这一专题栏目，将数学知识与学生真实的实际生活紧密联系在一起，在学生解决真实世界问题的过程中渗透有用的数学知识，因此真实世界问题解决也是数学教师重要的教学方式。

[参 考 文 献]

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012:9，12，65.

[2] ALTIERI M B，BALKA D.California mathematics grade(1—6)[M].New York：McGraw Hill，2008.

[3] MONTAGUE M.(2006).Math problem solving for middle school students with disabilities.Research report of the Access Centre：Improving outcomes for All Students K-8[EB/OL].http://www.k8accesscenter.org/ default.asp，2015-05-13.

[4] MAYER R E.Mathematical problem solving[M].Greenwich：Information age Publishing，2003.

[5] COLLEN M H.Fifth grade children’s use of reciprocal teaching to solve word problems in mathematics[D].Ph.D.The University at Albany，State University of New York，2011：20.

[6] KRAWEC J L.Problem Representation and Mathematical Problem Solving of Students of Varying Math Ability[D].Ph.D.University of Miami，2010：4-6.

[7] 课程教材研究所小学数学课程教材研发开发中心.义务教育教科书数学四年级上册[M].北京：人民教育出版社，2014.

[8] 毕华林，辛本春.中学化学教材中化学史内容编排的思考[J].课程·教材·教法，2008(3):63.

[9] The new NCTM Principles and Standards for School Mathematics (2000)[EB/OL].http://investigations.terc.edu/library/components/principles_standards.pdf，2015-07-25.

[10] 吕程，周莹，唐剑岚.多元表征:探寻数学智慧课堂的一把密钥[J].教育与教学研究，2012(6):108.

[责任编辑：江桂珍]

[收稿日期]2015-10-13

[作者简介]李寅芳(1990-)，女，湖南邵阳人，硕士研究生；王倩(1993-)，女，湖南怀化人，硕士研究生。

[中图分类号]G40-059.3

[文献标志码]A

[文章编号]1002-1477(2016)06-0113-06

教育比较[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.06.030