数学建模在初中数学高效课堂中的应用

王晓博

【摘要】：数学模型就是根据研究目的，对所研究的过程和现象的

主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出

来的一种结构，即把所要研究的实际问题，通过数学抽象构造出相应的

数学模型，再通过数学模型的研究使原问题获得解决的过程。数学模型

是数学知识与数学应用的桥梁，随着高效课堂下数学课改的不断深入，

重视数学知识与现实生活的联系，发展学生的数学应用意识和应用能

力，已成为数学教育发展的趋势。数学建模将实际问题抽象转化为数

学模型，然后用数学方法求解模型，使问题得到解答，能够帮助学生探索

数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识与实践能

力。本文谈谈如何在初中数学高效课堂中渗透数学建模的思想与思维

过程。

【关键词】：数学建模;中学数学建模;应用

一、什么是中学数学建模？

这里的“中学数学建模”有两重含义，一是按数学意义上的理解、

在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识所进行的

建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决

对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要

求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值。二是按课程意义理解，

它是本文要展开讨论的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它

是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过

经历建模特有的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、

学数学、用数学的经验，提升对数学及其价值的认识。

二、数学建模思想的基本步骤：

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对

象的各种信息。用数学语言来描述问题。（2）模型假设：根据实际对

象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提

出一些恰当的假设。（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数

学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量

用简单的数学工具）（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的

所有参数做出计算（估计）。（5）模型分析：对所得的结果进行数学

上的分析。（6）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以

此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，

则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合

较差，则应该修改假设，在次重复建模过程。（7）模型应用：应用方

式因问题的性质和建模的目的而异。

三、初中数学中常见的模型

1、建立方程模型

方程组模型的建立主要是运用数学语言将问题中的相关条件抽象

成若干个方程，并且要使其中的未知數能够满足每个方程，然后将这

若干个方程组合在一起对问题进行求解。“方程（组）”模型则是研

究现实世界数量关系最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系

的角度更正确、更清晰认识、描述和把握现实世界。

【案例1】一元二次方程中的“平均变化率”问题。

为了美化环境，商洛市加大了对绿化的投资，2010年用于绿化投

资20万元，2011年用于绿化投资28.8万元，求这两年绿化投资的平

均增长率。

【解析】1.问题分析

假設这两年绿化投资的平均增长率为X，那么2008年用于绿化

的投资额为多少元？那么2009年用于绿化的投资额为多少元？

2.模型建立

2010年用于绿化的投资额为：20（1+x）。

2011年用于绿化的投资额为：20（1+x）²。

根据2011年用于绿化的投资28.8万元，

得到方程20（1+x）²=28.8 如果设起始数据为a，终止数据为

b，平均变化率为X，则经过两次增长或降低后得到方程形式为

a（1+x）²=b或者a（1-x）²=b。

解方程：20（1+x）²=28.8

可得：x₁=0.2=20%，x₂=2.2（不符合题意，舍去）。

故这两年绿化投资的平均增长率为20%。

点评：对现实生活中广泛存在的如增长率、储蓄利率、产品购销、

工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题，通常可以通过构建

方程（组）模型来解决。

2、建立不等式（组）模型

在现实世界中，正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的，如

在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格范围、

盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中，很难确定（有时也不需要）

具体的数值，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，建立不等式（组）

模型，进而解决实际问题。

【案例2】洛南县筹备60周年县庆，园林部门决定利用现有的3490

盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在

迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉

40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。某校九

年级（1）班课外小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题

意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来。

【解析】设搭配A种造型X个，则B种造型为（50-x）个，依

题意，得：

{80x+50（50-x）≤3490，/40x+90（50-x）≤2950，

解这个不等式组，得

{x≤33/x>31，∴31≤x≤33

∵x是正整数，∴x可取31，32，33，

∴可设计三种搭配方案：

①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个;

②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个;

③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。

点评：通过构建一元一次不等式（组）模型，把实际问题转化为一元

一次不等式（组）进行求解，一是要注意正确找出实际问题中的不等关

系，二是要注意按照列不等式（组）解应用题的基本步骤（审，设、列、

解、答），求出符合题意的答案。

3、建立函数模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系

及运动规律。现实生活中，诸多问题常可建立函数模型求解。

【案例3】某商店赡过}_批单价为16元的日用品，销售一段时间后，

为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，当按每件20元

的价格销售时，每月能卖360件;当每件25元销售时，每月能卖210件。

假定每月销售的件数y是价格x（元/件）的—次函数。

（1）试求y与z的函数关系式。（2）在商店不积压，且不考虑

其他因素的条件下，当销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利

润？最大利润是多少？（总利润=总收入一总成本）

【解析】（1）依题意，设一次函数的解析式为y=kx+b，则有

{360=20k+b/210=25k+b，解得k=-30，b=960，∴y=-30x+960（16≤x≤32）。

（2）每月获得的利润P=（-30x+960）（x-16）=30（-x+32）（x-16）

=30（-x²+48x-512）=40（x-24）²+1920，

∴當x=24元/件时，P有最大值，最大值为1920元。

答：当销售价格定位24元/件时，才能使每月获得最大利润，最

大利润为1920元。

点评：函数揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律.对于现

实生活中普遍存在的最优化问题，如用料最省、成本最低、利润最大

等，可以构建立函数模型，转化为求函数的最值问题.

三、用数学模型解决实际问题可以达到以下目的

1、用数学模型解决实际问题便与理论联系实际

数学教学中，往往忽视运用数学知识解决实际问题的所谓“掐头

去尾烧中断”的教学方法，使得中学数学脱离现实生活。通过数学模

型方法解题，可以把数学与实际问题沟通起来，互相转化，是数学更

生地扎根于实际。

2、用数学模型解决实际问题，能提高学生学习兴趣。

不少学生感到数学枯燥无味，所以要数数学学习过程中充满乐趣。

数学模型是从实际提炼出来，可激发学生极大的兴趣;学会了主动学

习，学会了去索取自己所要学的知识，对数学有了新的认识，学习数

学的兴趣更高了，更自觉了。

3、用数学模型解决实际问题，有助于培养学生创造思维。

在高分下令人忧虑的是，中学生应用意识薄弱，动手能力差，雖

善于解题，但创造能力差，而运用数学模型解题恰能起到改善作用。

综上，通过对实际问题建立有效的数学模型不仅可以加深学生对

数学知识和方法的理解和掌握，而且还有助于调整学生的知识结构、

深化知识层次。另外，通过数学建模还能够培养学生应用数学意识和

自主创新精神，使学生能够成为数学学习的主体。因此在初中数学高

效课堂教学中，我们应该逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成

学生良好的思维习惯和用数学的能力。

（作者单位：陕西省洛南县谢湾中学，陕西 商洛 726100）