初中学生建立一次、二次函数模型解决代数实际问题中最值问题的研究

陆宾清

【摘 要】最值问题是中考考纲的考点之一，对于利用一次函数和二次函数解决最值问题也是初中阶段需要学习和研究的主要问题，本文即针对利用一次函数和二次函数来求解最值的问题进行研究，以帮助解决初中数学中的最值问题。

【关键词】初中 一次函数 二次函数 最值

初中数学中，最值问题是重要考点之一，由于在最值问题中涉及的知识面较广，综合性较强，因此是初中数学的难点之一，本文主要针对一次函数和二次函数的基本性质解决代数问题中的最值问题，以下将进行具体分析。

一、利用一次函数求最值

利用二元一次函数模型求解实际问题中最值，是初中数学比较常见的题型，通常是根据题意列出相应的方程，在题目给定区间范围内求出最值，利用一次函数求解最值涉及最多的是二元一次方程，通常利用其在某区间内的单调性进行最值分析，其单调性表现为：当k>0时，函数单调递增，当k<0时，函数单调递减，当k的绝对值越大，则函数的增减幅度越大，这些都是在题型中求最值的基本性质。如难度加大，则会涉及多元一次方程，此时要对其进行消元，化成二元一次方程，利用题目中给定的条件，判断未知数的取值范围，最终求得最值。以下将就常见的题型进行分析。

例题1：某种商品，月初出售，获利15%，所获的成本进行二次投资，月末可获利10%，若月末再行出售，则可获利30%，但需要付700元仓储费，问哪种销售手段可以获利最多？

解析：通过题意可知，投入同样的资金用采取不同的销售策略，可以获得不同的利润，所获利润的多少与投入资金的数量有很大的关系，设资金总量为x元，根据题意可以建立两种利润y关于资金x的二元一次方程，分别如下：

y1=15%x+10%（15%x+x）=26.5%x

y2=30%x-700

二者均为单调递增，函数y1的系数要小于函数y2，即其在增幅上要小于函数y2，因此只需得出y1=y2时，x的取值，即可判断出最佳的销售方案。联立等式得到x=20000，所以当x>20000时，选择方案二，当x<20000時，选择方案一。

其次，当遇到多元一次方程求解最值时，需要进行消元，例如以下题型。

例题2：已知x、y、z均为非负实数，且满足以下条件，x+2y+z=5，x+y-z=3，s=2x+y+3z的最小值和最大值。

解析：遇到这种题型，首先是进行消元，将三个未知数用同一个未知数进行表示，得到x=（8-3y）/2，z=（2-y）/2；其次是判断y的取值范围，由于x、y、z都是非负实数，所以x=（8-3y）/2》0，z=（2-y）/2》0，y》0求得y=[0，2]；最后，带入函数s得s=11-7/2y，单调递减，所以smax=11，smin=4。

二、利用二次方程求最值问题

对于代数实际问题中的最值问题，有些关于二次函数的问题，可以通过将实际问题抽象为二次函数模型，进而通过二次函数的性质来解决问题。

例题1：某商品成本价为40元，若定价为50元，则能售出500个，在此基础上，每涨价1元，销量减少10个，求其定价多少时能达到最大利润，最大利润为多少。

解析：这是最为典型的利用一元二次方程模型求解最值的例题，根据题意，可以设涨价x元，则对应的销量为（500-10x），成本价为40（500-10x），最终利润y=（50+x）（500-10x）-40（500-10x），即y=-10x2+400x+5000，利用配方法得y=-10（x-20）2+9000即当x=20时，获得最大利润y=9000元，即当售价为70元时，获得最大利润9000元。

以上是简单的二次函数求实际问题中最值的问题，另外在最值问题中，除了上述利用单一二次函数模型进行解题以外，可能会涉及到多个函数模型，即在实际问题中需要根据不同区间的不同要求抽象出不同的函数模型，即分段函数的应用，以下是分段函数的实际运用。

例题2：某服装裤子进价40元/条，售价60元/条，每周销量300条，经过市场调查发现：每条裤子价格上涨1元，每周销量减少10条；每条裤子价格下降1元，周销量增加18件.问该裤子定价多少可使该店获得最大的利润？

上述题目是典型的最值问题，根据题意（涨价和降价时裤子销量增减数量不同）可以列出分段函数，即涨价时对应的函数和降价时对应的函数。

（1）当裤子售价增长x元时，每周的销量为（300-10x），则每周的销售总额为（60+x）（300-10x），总成本为40（300-10x），则销售利润y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x），即y=-10x2+100x+6000（0≤x≤30）。

得出一元二次方程后，即是求最值的问题，求二元一次方程的最值可以利用配方法和判别式法，配方法：y=-10（x-5）2 +6250，即当x=5时，达到最大利润y=6250；

判别式法：则当x=-b/2a，同样得到x=5时，达到最大利润y=6250。

（2）当裤子售价下降x元，每周的销量为（300+18x），则每周的销售总额为（60-x）（300+18x），总成本为40（300+18x），则销售利润y=（60-x）（300+18x）-40（300+18x），即y=-18x2+60x+6000（0≤x≤20）。

利用判别式，则当x=-b/2a，即当x=5/3时，利润ymax=6050。

通过上述解答，可以判断当涨价5元，即裤子定价为65元时，该店可以达到利润最大这，为6250元。综上，该九分裤每条定价为65元时，可使利润最大。

以上二次函数求最值当中，都是顶点在区间内的情况，接下来需要探究的是在不同区间范围内，函数最值的求法，此时即需要判断函数在区间范围内的增减性，例如y=x2+8x+3，求其x在[4，8]范围内的最值。首先，利用判别式，得：x=-4时，y有最小值，x的取值不在区间范围内，在x取值范围内，函数是单调递增的，因此，当x=4时，ymin=51，当x=8时，ymax=131.

最后，针对二次函数中含有字母的情况进行最值的探讨，例如二次函数y=-x2+ax（-1≤x≤1），求当a=[-2，2]时，函数的最大值。首先利用判别式，得知二次函数的顶点坐标是（a/2，a2/4），由此判断，当xa/2，函数单调递减。当a=[-2，2]时，a/2=[-1，1]，恰好在x取值范围之内，因此其最大值是a2/4。

根据上述例题延伸，当a<-2时，则a/2<-1，不在x的取值范围内，同时x的取值在顶点的左侧，函数在x取值范围内单调递减，所以，ymax=-1-a。同理，当a>2时，x取值范围内，函数递增，所以ymax=-1+a。

以上为二次函数求最值的一些典型例题，利用二次函数求最值的问题还有很多，例如定点和动点间的最短路线等，由于涵盖的知识面比较广，且容易出现综合性很高的题型，例如可以与图形结合等，需要仔细揣摩、研究。

三、总结

一般来说，关于一次函数的最值问题的求解在难度上要低于二次函数，其在单调性的判断上是较为简单的，涉及的相关问题也比较容易，对于二次函数，首先在单调性上较之复杂，其次在具体题型上更为复杂，是中考中容易出难题的考点，需要更为认真的揣摩和分析。

参考文献

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[2]赵善福，初中教学函教最值问题求解策略[J].数理化解题研究，2014，（24）

[3]邹靓靓.基于初中数学二次函数中最值问题的思考[J].理科考试研究·数学版，2016（01）