浅谈化归法在高等数学学习中的应用

黄婷 劳文革 康燕珍 翁启蛮

摘要：本文主要探讨化归法在高等数学学习中的广泛应用。通过一些例子阐述如何把高等数学的问题化归为初等数学的内容，如何把复杂的问题化归为简单的问题。同时指出相对于数学知识的学习，数学思想方法的学习更为重要。

关键词：化归法；高等数学；数学思想方法

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）17-0177-02

一、引言

绝大部分中小数学老师都是从师范学校走向教学岗位的。每一个师范类数学教育专业的学生都必须学习高等数学，他们在学习高等数学时都有一个疑惑：中小学数学那么简单，跟高等数学相差太大了。高等数学这么难学，高度抽象，动不动就涉及公式、定理、证明，严重脱离生活实践，不像中小学数学那么贴近生活。学它做什么？有什么用？毕业后教中小学数学也用不上。在这个充满功利的社会，学生提出这样的疑惑也不足为奇。事实上高等数学确实非常有用。对于很多学生来说高等数学不是用不上，而是会不会用的问题。中小学数学与高等数学是一个有机的整体，很多思想方法都是相通的，只不过高等数学站得角度更高更远。学了高等数学再回头去看中小学数学内容就会发现看得更透更深，站得高才能望得远就是这个道理。由于当今实行的考试制度，中小学数学教师主要重视解题技巧和解题结果，很少重视解题过程中使用的解题方法。但事实上方法的获得才是最重要的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需求、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”所以作为毕业后要成为中小学数学教师的师范生，在学习高等数学的过程中，应该注重数学思想方法的学习。学习高等数学重点不在于你学会了多少知识，而是你学会了多少方法，这些方法不管是初等数学还是高等数学都适用，并且是跨学科适用。高等数学真有那么难学？方法用对了就不难了。笔者主要谈谈化归法在高等数学学习中的应用，体会初等数学与高等数学的有机统一、浑然一体，同时感受数学思想方法在数学学习中的重要性。

什么是化归法呢？化归即转化归结的意思，化归法就是把当前有待解决的问题，通过转化、归结为已经解决或容易解决的问题。从认识论的角度来说，化归法是人类认识客观世界的重要方法，人类认识世界都是从简单到复杂，从具体到抽象，把复杂抽象的问题转化为简单具体的问题。学习高等数学也不例外。

二、化归法在高等数学学习中的应用举例

我们从以下几个例子来领略化归法的魅力。

1.无限化归为有限。学高等数学微积分的内容时有个很重要的知识点——极限。如lim1/n=0，这个式子表示数列1、1/2、1/3、1/4……1/n……在n趋于无穷大时的极限是0.很多学生一看到n→∞就头大，因为这个n→∞很抽象，这个n趋于无穷大到底有多大？我们可以把这个无限项的数列化归为有限项来分析，当n=100，1000，10000等有限数时，我们很容易发现它的后一项都比前一项小，随着n的增大项越来越小，但它一定不会小于0，所以说这个数列的极限是0.另外求曲边图形的面积时，是通过把曲边图形按横坐标或纵坐标划分为n小份，先求這n小份的和，当n趋于无穷大时取和的极限即可得这个图形的面积，这时也把无限化归为有限来求解。关于这个无限的概念学生是在学高等数学时才接触吗？不是，学生很早就接触了。在小学学数数时就有了这个概念：1、2、3、4、……、100、……，一直数下去数不尽；另外在学有理数、无理数时也涉及无限的概念，学直线、平行线等知识点时也涉及无限的概念。学了极限的知识点后再看这些初等数学中的概念就能理解的更深刻了，能做到知其然也知其所以然了。

2.空间化归为平面。很多学生在学高等数学空间解析几何这门课程时碰到了困难，特别是空间图形的认识学得很吃力。因为空间解析几何是三维立体的，比二维平面要抽象很多。三维可以化归为二维。比如空间直角坐标系Oxyz，可以把它转化为三个平面直角坐标系xOy，yOz，zOy，对二维平面直角坐标系这个知识点在初中数学就已经学过，很容易接受。所以在学习空间图形时，就可以通过投影到xOy，yOz，zOy三个平面，通过投影到平面上的图形来分析这个空间图形的性质特点。另外空间中两点间直线的距离、空间直线方程、空间中平行线的性质等都可以转化为平面上对应内容来理解。通过这样的转化，学生可以更深刻的认识空间图形，从而提高空间想象力、开阔思维。现在的小学数学课本中已经涉及到三维立体图形的知识点了，有了空间解析几何的学习经历，学生在毕业后从事这个内容的教学时就能深入浅出了。

3.二元化归为一元。函数是数学中一个非常重要的概念，中小学阶段主要以一元函数的学习为主，进入高等数学的学习后经常涉及二元函数的内容，学生在学习二元函数相关内容时非常吃力。比如二元函数f（x，y）的求导，二元函数f（x，y）的积分，求二元函数f（x，y）的最值、极值等。在求二元函数f（x，y）的导数时，只需按照未知数的个数依次求导即可。若对x求导，则可把y看作常数y0，这时二元函数f（x，y）转化为一元函数f（x，y0），反之亦然。在求二元函数f（x，y）的积分时，亦可如求二元函数f（x，y）的导数一样把二元函数转化为一元函数再分别进行积分，求积分区间时也可以化归为一元函数进行。有关二元函数的微积分确实复杂，但通过这样的转化，化复杂为简单，在学习二元函数甚至更多元函数时遇到的困难就迎刃而解了。

4.高阶化归为低阶。高阶方程组的求解、高阶行列式的计算是高等代数中非常基础的内容，很多学生在阶数大于3时就产生了畏难心理。当行列式的阶数大于3时不能直接计算出结果，所以当行列式的阶数大于3时要通过行列式的性质把高阶行列式转化为3阶行列式即可轻易求解其结果。在学习常微分方程的时候，高阶微分方程的求解亦是通过降阶化为一阶或二阶微分方程。通过降阶，再复杂的方程组、行列式、微分方程都能轻而易举地求解。由此可以看出，不管多复杂的问题都可以化归为最简单、最基础的问题进行解答。

5.非欧几何化归为欧氏几何。几何是大家非常熟悉的一个数学模块，但中小学阶段学习的都是欧氏几何，进入高等数学阶段会学习非欧几何，刚接触非欧几何时学生觉得难以接受，因为非欧几何在现实生活中很难找到实物模型，另外非欧几何中有很多违背大家常识的结论，比如在非欧几何中三角形内角和不等于180度，可能大于180度也可能小于180度。欧氏几何与非欧几何产生这种差别的原因是它们的前提条件平行公设不一样，其他前提条件都相似。所以学习非欧几何的性质定理时可以把它化归为欧氏几何中的性质定理，欧氏几何有哪些性质定理，非欧几何就对应的有哪些性质定理。非欧几何的学习开拓了学生的思维，对几何有了更进一步的认识。这非常有助于学生毕业后从事中小学几何教学的工作。

6.代数化归为几何。代数中有很多问题可以转化为几何问题进行解答。不仅思路新颖，而且很简便。比如求函数f（x）=lnx-1/x的零点个数，在代数解法中，首先想到的是对函数f（x）求导，方程f′（x）=0的解的个数就是函数f（x）的零点个数。若把此问题化归为几何解法将会简便很多：函数f（x）是一个对数函数与一个反比例函数的差，只要在直角坐标系中画出这两个函数的草图，这两个函数图像的交点个数即为函数f（x）的零点个数。像这类代数问题转化为几何问题来解决非常的方便，当然几何中也有很多问题可以化归为代数问题来解决更简便。数形结合是数学中非常重要的思想方法，不论是初等数学还是高等数学都适用。

三、结语

每个人一生用来学知识的时间是有限的，但数学知识是无穷无尽的，是学不完的。所以说学数学的本质不在于学了多少知识，而是通过这些知识学会了多少方法，收获了多少能力，这些能力将使学生终生受益。把高等数学转化为初等数学，把复杂的问题转化为简单的问题进行求解，如此看来高等数学并不难学，方法用对了，问题自然容易解决了。因此在高等数学的学习过程中学思想方法才是最重要的，中小学数学的学习也不例外。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2011.

[2]金成良.化归法与递推法[J].江苏教育，1995，（7）：41-42.