函数对称性简单应用

憧迷普巴

作为高中数学教学的贯穿线，高中数学的核心内容，整个高中数学的基础，函数的重要性总所周知。函数的性质更是数学竞赛和数学高考的重点，更是高考热点问题，函数的对称性是函数的众多性质中的一个，对称性质广泛存在于数学各类问题中，使用对称性能更简捷地使问题解决，对称关系还充分体现中国建筑推崇的对称之美。通过函数的对称性来探讨函数与对称相关的知识。

一、 函数对称性探究

首先我们先来一起研究函数对称性的一些首要条件和结论，这对我们进一步深入探究对称性有很大的帮助。

定理1：函数 y = f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是：

f（x）+ f（2a-x）= 2b

證明：（必要性）设点P（x，y）是y = f（x）图像上任一点，∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P‘（2a-x，2b-y）也在y = f（x）图像上，

∴ 2b-y = f（2a-x）

即y + f（2a-x）=2b故f（x）+ f（2a-x）= 2b，必要性得证。

（充分性）设点P（（x0，y0））是y = f（x）图像上任一点，则y0 = f（x0）

∵ f（x）+ f（2a-x）=2b∴f（x0）+ f（2a-x0）=2b，

即2b-y0 = f（2a-x0）。

故点P‘（2a-x0，2b-y0）也在y = f（x）图像上，而点P与点P‘关于点A（a，b）对称，充分性得征。

由人教版2003年的数学教程所得到的以下一些相关的结论：

推论：函数 y = f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+ f（-x）= 0

定理2.函数 y = f（x）的图像关于直线x = a对称的充要条件是f（a +x）= f（a-x）即f（x）= f（2a-x）

推论：函数 y = f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）= f（-x）

定理3.①若函数y = f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y = f（x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。

②若函数y = f（x）图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f（x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。

③若函数y = f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f（x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。

以下给出③的证明：

∵函数y = f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称，

∴f（x）+ f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+ f [2a-（2b-x）] =2c……（*）

又∵函数y = f（x）图像直线x =b成轴对称，

∴ f（2b-x）= f（x）代入（*）得：

f（x）= 2c-f [2（a-b）+ x]……（**），用2（a-b）-x代x得

f [2（a-b）+ x] = 2c-f [4（a-b）+ x]代入（**）得：

f（x）= f [4（a-b）+ x]，故y = f（x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。

二、 函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）= f（5+x），则f（x）一定是（ ）

（A）是偶函数，也是周期函数

（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数

（D）是奇函数，但不是周期函数

解：∵f（10+x）为偶函数，∴f（10+x）= f（10-x）.

∴f（x）有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。

故选（A）

例2：设定义域为R的函数y = f（x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5）= 1999，那么f（4）=（）。（A） 1999;（B）2000;（C）2001;（D）2002。

解：∵y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g-1（x-2）反函数是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函数是：y = 2 + g（x），∴f（x-1）= 2 + g（x），∴有f（5-1）= 2 + g（5）=2001

故f（4）= 2001，应选（C）

例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）= - x，则f（8.6）= _________

解：∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f（x）对称轴;

又∵f（1+x）= f（1-x）∴x = 1也是y = f（x）对称轴。

故y = f（x）是以2为周期的周期函数，

∴f（8.6）= f（8+0.6）= f（0.6）= f（-0.6）= 0.3

例4：函数 y = sin（2x +）的图像的一条对称轴的方程是（ ）

（1992全国高考理科）

（A）x =-（B）x = -

（C）x = （D）x =

解：函数 y = sin（2x +）的图像的所有对称轴的方程是

2x += k +

∴x =-，显然取k = 1时的对称轴方程是x =-，故选（A）

例5：设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时，f（x）= x，则f（7.5）=（）

（A）0.5 （B）-0.5

（C）1.5 （D）-1.5

解：∵y = f（x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心;

又∵f（x+2）= -f（x）= f（-x），即f（1+ x）= f（1-x），

∴直线x = 1是y = f（x）对称轴，故y = f（x）是周期为2的周期函数。

∴f（7.5）= f（8-0.5）= f（-0.5）= -f（0.5）=-0.5 故选（B）

通过以上相关的结论证明和相应的例子说明，我们了解到函数对称性在解决函数问题的实用性。作为我自己所了解的相关例题和结论的解法，这更多代表的是我自己的观点，不能说明这是唯一的做法，更多更好的解法还有待我们共同探讨，作为高考的难点和热点，我们有责任挖掘出更快捷、更准确的解题思路，让函数的对称性应用在考试中解决更多的高考难题。