例谈中考数学中的开放性问题

廖朝焕

摘 要： 新课改的目的已不是将一切知识传授给学生，而是要让学生学会学习，学会思考，学以致用，打开思路，大胆创新.本文以近几年中考数学试题中的开放性问题为例，搜集、归纳、分析、整理这类试题.通过对这类试题的分析和教学，引导学生探索和发现问题，并独立地用所学知识解决问题.开放性问题的考查和教学为学生提供了广阔的交流空间，对教师也提出了更高的要求.

关键词： 问题解决 开放题 数学教学

培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点.国家教育部在《初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确指出：“初中毕业、升学考试改革应有利于贯彻国家教育方针，推进中小学实施素质教育……”数学考试应“设计一定的开放性问题”.正是由于各地认真贯彻执行了这一意见和要求，因此在近几年全国各地中考试题，特别是压轴题中，开放性问题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视.开放性问题多出现于填空题和解答题中，要有条件开放，结论开放，策略开放，综合开放等类型，它具有知识覆盖面大，综合性强，立意新颖，构思精巧等特点，并有相当的深度和难度.开放探究型试题具有答案不唯一的特征，它主要考查学生思维的灵活性、开放性和创新性，当然创新能力也离不开扎实的基础知识和基本技能.正因为如此，当前对数学开放性问题的研究已成为数学教学的热点，而在中考试题中适当设置一些开放性探索性问题无疑对转变观念，改进教学，加强创造性思维能力的培养都具有重大意义.现我结合近几年中考数学试题中出现的开放性问题，对其略加分类和评析，供同仁复习时参考.

一、什么是开放性试题

开放性数学试题是相对于给出了明确的条件和结论的封闭型问题而言的.所谓开放性数学题通常指答案不确定或条件不完备，或具有多种不同解法，或有多种可能的解答等类型的数学问题.关于开放题的条件的有：不完备；可以多余；多余需选择；不足需补充，等等.关于开放题的答案（结论、解法）的有：不固定；有多种；不唯一；不必唯一；不确定；不必有解，等等.因此，开放题的一个显著特征是：答案的多样性（多层次性）.此外，有些资料上把某些探索性问题也归入开放题，虽然对探索题的研究具有公认的意义，但在讨论与研究开放题的时候，是有必要把这两者加以区别的，但是开放题与探索题的密切关系也是不可否认的.

二、近几年中考数学试题中的开放题类型

由于开放题在中考中具有其他试题所不可替代的功能，因而备受命题者青睐.从近几年的中考试卷来看，有以下几类：

（一）条件开放型试题

条件开放型试题主要是指问题的条件开放，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一.解决此类问题的思路是从所给结论出发，逆向探索，逐步探寻其合乎要求的一些条件，从而进行逻辑推理证明，确定满足结论的条件.

例1：如图1，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件：时，就可得到△ABC≌△FED（只需填写一个你认为正确的条件）.

说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中一种重要的解题方法——分析法.

例2：试写出一个关于x、y二元一次方程组，使其解为x=2，y=4，符合要求的方程组为.

分析：我们只要构造出既含x又含y的两个二元一次方程.构造方程实际上就是寻找x与y之间的数量关系.

说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看做对应于平面直角坐标系中的一个点A（2，4），则可以写出过这个点的任意两个一次函数的解析式（也是两个二元一次方程）.

本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也以可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，又是一个策略开放题.

（二）结论开放型试题

结论开放型试题就是给出问题的条件，根据已知条件探究问题的结论，并且将符合条件的结论一一罗列出来，或者对相应的结论的“存在性”加以推断，甚至探求条件变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题.解决此类题目要求利用条件大胆而合理地猜想，发现规律，得出结论；其基本解题思路是：首先认真剖析题意，充分挖掘题设信息，再由因寻果，顺向推理或联想，最后获得所求结论.

例3：在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

分析：本题主要考查了数形结合和分类讨论的数学思想.

例4：如图2，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论DE是⊙O的切线.

问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.

（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？

分析：（1）连接OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，从而可得OD⊥DE，结论仍然成立.

（2）若⊙O与AC相切，设切点为F，连接OF，则由Rt△AOF中可求得OF=，即OB=.（解题过程略）

说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题.第1小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第2小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.

（三）综合开放型试题

所谓综合开放型试题，是指只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要考生到情境中自行设定或寻找的问题.综合开放型试题，较多地关注考生创新意识、创造能力与数学应用意识.

例5：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元.

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种产品生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

分析：本题主要考查考生对一元一次不等式组的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用等考点的理解.

参考文献：

[1]罗养贤.初中总复习指导——数学.厦门：鹭江出版社，2013.

[2]李建周.中考总复习指导——数学.福州：福建人民出版社，2016.