反向思考，创新思维——试论列举反例对高中数学教学的推进作用

☉江苏省东台中学丁瑞芳

反向思考，创新思维
——试论列举反例对高中数学教学的推进作用

☉江苏省东台中学丁瑞芳

所谓反例，简单来说，就是用来证明某个判断或说法不正确、不成立的例子.列举反例在高中数学的知识学习过程当中并不陌生，且应当越来越多地作为数学教学的捷径出现.之所以这样讲，主要出于两个方面的考虑：第一，对于一些比较复杂的命题来讲，从正向进行思考，往往需要一个漫长的思维过程.另外，学生们在惯常情况下都是从正向展开思考的，长此以往，思维定式的形成也不利于对于数学命题的判断.而这个时候，只需要提出一个反例，便可以让原本复杂的问题迎刃而解，大大缩短了思维过程.第二，反例的举出实现了学生对于知识内容的逆向思维，在打开学生反向思考路径的同时，实现了数学思维模式的创新.这对于高中数学学习效果的强化，均具有积极的推进作用.

一、列举反例，快速判断命题真假

列举反例最为直观的一个作用就是在最短的时间内判断出一个命题的真假.当一个命题摆在学生眼前时，学生们的惯性思维都是从正向对之进行思考，沿着命题的呈现顺序来推导、计算.这样的方式虽然按部就班，却十分容易使得思维掉入命题当中所预设的陷阱里.即使学生能够保持自己的独立思维，也会浪费大量的推理时间.而反例的运用则可以将这个情况大大改观，因为，想要否定一个命题的正确性，只需要一个反例就够了.

例如，在学习不等关系的内容时，为了检验学生对于基本概念的掌握程度，我请学生们判断如下命题是否为真命题：若a＜c，b＜c，则ab＜c2.由于这里只需要学生们判断出命题的真假即可，如果从正向区分不同情况进行分类讨论，步步论证，耗费的精力未免过大.稍有不注意，更会导致论证漏洞的出现.于是，我请学生们试着从反向进行思考，看看能否找出反例来.果然，马上有学生提出，当a=-3，b=-2，c=1时，ab=6＞c2，很轻松地推翻了上述命题，真命题的判断变得快速有效了很多.

运用反例判断命题真假的方式，在解答判断题或是选择题时适用得十分广泛.特别是在需要选择出几个选项中的真命题或假命题形式的选择题中，如果学生们将每一个选项中的命题都作为一个独立的数学题目进行演算和证明，非但不能保证正向思维的严谨性，更会在考试当中耗费大量时间，为后题的解答造成压力.而当学生们转换思路，试着为每一个命题都去找出一个反例进行判断排除时，效率立刻显著提升了.

二、列举反例，巩固强化概念理解

反例的存在是对细节的关注，而对细节的关注恰好是在学习高中数学概念时所特别需要的.从平日的概念学习中不难发现，数学概念从表述语言上来讲都是十分精炼的，然而，其中却蕴含着颇为丰富的内容，稍有忽略，便会导致概念含义领会不全甚至是有所偏差.概念又是整个高中数学学习的前提和基础，对于它的每个细节进行到位掌握的重要性无需多言.那么，如何才能让数学概念当中的重要细节引起学生们的注意，并且让大家对之进行深入理解和充分记忆呢？列举反例定是一个不二之选.

例如，椭圆的概念是学生们理解时出错频率很高的内容.教材中对它的概念通常表述为“平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹”.刚刚开始接触这个概念时，学生们并没有发现什么需要特别注意的地方.于是，我提问学生：“如果到两个定点的距离之和恰好等于|F1F2|会怎样？小于|F1F2|呢？若符合条件的这些点不在同一平面中又将如何？”学生们发现，在上述反例条件之下，都无法形成椭圆.由此，椭圆概念在理解时应当注意的地方也得以明确了.

在高中数学概念的教学过程中，笔者采用反例进行规范化教学的频率是相当高的，且每一次都能够收获理想的教学效果.在笔者看来，反例之于概念教学来讲，就如同是一个“检测仪”，在具体内容学习完成后，深入每一个细节进行二次检测，探查学生是否将每一个角落的知识都理解到位了.如果学生对于数学概念的理解都能够经受住反例的考验，才是真正将其掌握了.

三、列举反例，准确掌握定理公式

在高中数学的知识内容当中，如果将基本概念比喻为一砖一瓦，那么，定理和公式等内容就像是支撑起大楼砖瓦的钢筋水泥.定理和公式正如同一条条线索，串连起了整个高中数学当中零散的知识点，并将其统一提炼成为思想方法性的内容，直接应用于数学问题的解答当中.因此，学生能否将数学公式与定理掌握准确，直接关系到解题的准确和效率.为了实现学生对于上述内容的完整掌握，反例的巧妙运用至关重要.

图1

例如，在立体几何中，曾经出现过一个十分重要的定理——线面垂直判定定理.该定理被表述为“一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直”.内容看似平常，学生们却十分容易忽略了其中的“相交”二字.于是，我在黑板上画出了一个长方体，如图1，并向学生指出，虽然AB1⊥B1C1且AB1⊥BC，但AB1却显然不与平面BB1C1C垂直.这个反例让学生们马上意识到了强调两条直线相交的重要性，对于这一定理的理解又深入了一层.

很多学生都表示，数学当中的公式和定理，看起来很简单，形式上的规律性也很强，很方便记忆.可是，每当自己认为已经学明白了之后，一用起来仍是错误百出.这就是定理、公式掌握不全面，只是浮于文字表面的表现.之所以会出现这种情况，主要是因为学生没用深入到内容背后，对它们的适用范围、关键语词的确切含义进行探究.反例的出现，则可以有效引导学生从简略的文字表面关注到更多深入的内容.

四、列举反例，明确错误出现原因

在实际教学过程当中，教师与学生对于反例作用的认知大多停留在“找出错误”的层面上.也就是说，在需要判断某个命题或是解答过程是否正确时，往往会借助于反例这个工具.只要成功找出了反例，便能够证明当前的命题不正确了，反例的运用也就到此为止了.实际上，对于反例的运用过程还可以继续延伸，将它的作用从判断正确与否拓展至明确错误原因上来.

例如，在学习长方体的知识时，学生们遇到过这样一道习题：如图2所示，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，其中，AB=5，AD=4，AA1=3，那么，从点A沿长方体表面到达点C1的最短距离是多少？大多数学生都选择了AB+BC+ CC1=5+4+3=12的方法来解答.这时我提出，如果从点A沿着AB和BC1到达点C1，总距离为10，显然小于12.在这个反例的启发下，学生们意识到，此类问题中的最短距离并非在立体状态下所计算出的结果.既然从长方体表面计算距离，完全可以将长方体表面展开，在展开图中以两点之间线段最短的方式加以确定（如图3）.这样一来，类似的立方体表面最短距离计算问题都得到了解决.

图2

图3

要想把高中数学知识学到位、学透彻，不仅要让学生知道自己做错了，更应当知道错在哪儿，为什么会出错.只有这样，才能够将学习当中出现的错误转化为助推学习的有效资源，让学生在错误中成长.当我们每提出一个反例时，都应当再多想一步，看看这个反例出现的内容基础是什么，它的存在是基于哪个方面的知识缺失.这样的学习才是最确切、最有效的.

五、列举反例，提高数学解题效率

当教师将反例的思想逐步渗透给学生之后，学生们便会渐渐发现，反例的应用范围不仅仅局限于简单的正误判断之中.以反例为切入点，在学生头脑中建立起反向思考的思维模式之后，可以为具体数学问题的解答提供全新的途径.反例的思路运用得当，可以大大提高解题效率.

例如，在学习过函数内容后，我请学生们试着判断函数f（x）=x2+|x-a|+1（a≠0）的奇偶性，这个问题让很多学生感到难以入手.的确，若是从正向进行分析证明，需要考虑的因素太多了，对于刚刚开始深入接触函数知识的学生们来讲难度不小.然而，当x取得特殊值a时，原函数既不满足奇函数的特征，也不满足偶函数的特征，这个反例充分表明，函数f（x）是非奇非偶函数.与常规思维方式相比，这样的效率明显高出了不少.

从上述叙述当中可以看出，在很多复杂数学问题的解答过程当中，如果能够恰如其分地以反向思维进行思考，会发现很多新的角度，或是快捷的分析路径.这对提高数学解题的准确率和速度上来讲都是很有帮助的.

六、列举反例，训练学生严密思维

反例对于高中数学知识学习来讲，就像是一个探测器和度量者，检验着学生们对于每一个知识内容的掌握效果.这也为学生们的学习思维与方法提出了要求.想要让自己对于知识的学习都能够经得住反例的考验，就必须提升学生思维的严密性，这也是高中数学学习中所必需的品质.

例如，在对函数的单调性与导数内容进行教学时，我提问学生：“‘函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，x∈（a，b），f′（x）＞0’是否为‘f（x）在区间（a，b）内是增函数’的充要条件？”学生们想到，教材中刚刚谈到“设函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，若x∈（a，b），f′（x）＞0，则f（x）在区间（a，b）内是增函数”，便顺理成章地认为充要条件的判断是正确的.我及时举出反例f（x）=x3，马上推翻了上述判断.这也让学生们意识到，教材当中所表述的逻辑关系并非充要条件的含义，在对之进行阅读理解时，思维必须足够严密，否则会导致很多概念性错误的出现.

反例的适当列举，既是对学生严密思维的呼唤，也是学生提升思维严密性的准确方向.在很多时候，反例能够成为学生学习数学知识的启发.在反例的有效引导下，学生准确找到了当前所学知识当中容易出现错误的部分，并能够就此有意识地突出学习重点，强化学习实效.

通过上述论述不难发现，列举反例在高中数学教学的各个环节都能够发挥出不同的推动作用.从知识学习过程来讲，反例的及时出现，让整个思维过程更加严谨了，反例本身也弥补了学生们在形成知识体系时的漏洞，让大家将知识学习得更完整，更准确.从问题解答过程来讲，特别是在解答选择题、判断题等类型的题目时，列举反例的方式往往能够有效简化思考过程，在最短的时间内得出命题正确与否的结论，显著提升解题效率.新的课程标准呼唤新的教学方式，反例的巧妙融入一定能够不断创新学生思维，从新的角度将高中数学教学推上一个新高度.G