挖掘课本习题教学功能培养学生思维能力

☉江苏省南京市六合区程桥高级中学高小晶

挖掘课本习题教学功能培养学生思维能力

☉江苏省南京市六合区程桥高级中学高小晶

教材是学生学习的蓝本，教材上的例、习题怎么处理？如果仅仅从“难度”上来看这些例、习题，学生都会觉得它们太“简单”了.于是乎，不少老师在处理这些例、习题时都“惜时如金”，生怕“浪费”时间，将更多时间和精力用在各种资料上.殊不知，教材上的每道题都是专家精心编写而成的，每道例、习题都包含着丰富的内涵.在教学中，如果我们善于以例、习题作为思维的生长点，深入挖掘习题的内涵，多角度、全方位地引导鼓励学生积极去思考，那么就可以拓展学生的思维空间，培养学生的思维能力，全面提高学生素质.下面笔者通过自己的教学实践谈谈通过课本习题如何培养学生的思维能力，不当之处敬请指正.

一、挖掘课本习题教学功能，培养学生探究归纳能力

在教学过程中，若老师有目的、有意识地引导学生研究一些典型题目，揭示其内在规律，挖掘其教学功能，不仅有利于学生掌握基础知识，而且对于培养学生应变能力和探究归纳能力，优化学生思维方式，发掘创新潜能、发展创新意识也是有益的，同时必然能提高学生分析问题和解决问题的能力.

案例1普通高中数学人教A版必修4第138页B组习题3：

观察以下各等式：

分析上述各式的共同特点，学生能写出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.但对于此题，教师可以从以下几个方面来研究：

注：此处“对偶”是指正弦与余弦互换，再根据sin2α+ cos2α=1来求值.

方法1、2、3主要反映了对同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式掌握的熟练程度和运算能力的强弱，而方法4则反映了知识间的内在联系及化归与转化的思想，有助于思维灵活性的培养.

（三）结论推广

更一般地有：

sin2α+cos2β-2sin（α+β）sinαcosβ=cos2（α+β）.

限于篇幅，证明此略.

这样通过一题多解，探求规律，拓展延伸不仅让学生对三角函数这部分内容有了更深入的理解，而且培养学生由此及彼、探究归纳的能力，使得解题后的反思总结成为一种习惯.

二、挖掘课本习题一题多变功能，培养学生发散思维能力

“一题多变”，让学生从不同的角度去观察、分析、探究，使学生在做题中进一步体会到前后知识的内在联系，将所学知识融会贯通，于是，学生的思维空间更加广阔了，解题方法更加灵活了.

案例2人教A版普通高中课程标准实验教科书（必修1）例题3：写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

这道题目学生按照集合子集中元素个数多少的标准可以一一写出，写出后还可以数出有4个子集.如果这两个问题做到这里就停止研究，那就太肤浅了，“辜负”了编者的一片好意.

变式1：写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

教师：写出｛a，b｝的所有4个子集Ø，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝后，你还有更快的方法写出｛a，b，c｝的所有子集吗？

学生经过思考，发现还可以这样写：｛a，b，c｝的子集包括两类：一类是不含有元素c，有Ø，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝这4个；另一类是含有元素c，只需把c分别再“放入”“Ø，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝”即可，这样又得到4个，所以｛a，b，c｝共有8个子集.研究并没有到此为止，教师提出一个更“难”的问题：

变式2:猜想、研究集合｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集个数.

不少学生经过思考后，利用前面特殊情况的分析方法，发现｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集可以这样写：｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集包括两类：一类不含有元素xn，即｛x1，x2，x3，…，xn-1｝的子集；另一类含有元素xn，只需把xn分别再“放入”｛x1，x2，x3，…，xn-1｝的各个子集即可，由此发现集合｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集个数是｛x1，x2，x3，…，xn-1｝的子集个数的两倍，进而可以准确得到集合｛x1，x2，x3，…，xn｝的子集个数是2n，其非空子集个数是2n-1，非空真子集个数是2n-2.

在这个研究过程中，学生不但掌握了一个重要公式，更重要的是，他们学会了观察，学会了思考，形成了由特殊到一般、递推、猜想等数学思想，从而培养了学生的发散思维能力.

三、挖掘课本习题题后反思功能，培养学生严谨思维能力

从学生的生理心理特点来看，每个学生都有探索和创造的潜能，关键是如何激发他们学习的兴趣、动机和求知欲.解题后的反思，不仅能使学生对所学内容与知识得到巩固，找出题中的易错点，培养思维的严谨性，而且让学生体验到运用知识与技能解决问题的乐趣，促进智力和能力的提高.

案例3已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程.

此题学生不难算出相应切线方程为x0x+y0y=r2，但教师不应就此罢休，因为学生刚刚开启一座金矿的大门，岂有马上关掉之理？学生算出答案后会迅速发现结论与圆的方程很像，不妨借此机会引导学生从纵、横两个方向作如下反思：

反思1：已知M（x0，y0）异于圆x2+y2=r2圆心的一点，则直线xx0+yy0=r2与圆的交点个数是_________.

相当多的学生受到原题的影响，一看到直线方程xx0+yy0=r2的形式就想到直线与圆相切，于是就不假思索地填上1，也有一些学生以为不一定填1，因为M（x0，y0）是可能在圆上，也可能不在圆上，可能有其他答案.

为澄清学生的模糊认识，在审题中不被“形”迷惑，能透过“形”的本质，让学生自己发现错误，老师因势利导，进行变式引导.

反思2：当在圆C的外部时直线x1x0+y1y0=r2的几何意义是什么？

引导学生探索：过点M可作圆C两条切线P1M，P2M，设切点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则切线P1M的方程为x1x+ y1y=r2，切线P2M的方程为x2x+y2y=r2.因为M点在直线P1M，P2M上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y0y=r2，由此可知，点P1，P2在直线x0x+y0y=r2上，而过两点的直线只有一条，所以x0x+ y0y=r2为弦P1P2的方程.

反思3：当M（x0，y0）在圆C内（不与圆心重合）时，直线x0x+y0y=r2的几何意义是什么？

引导学生探索：过点M作圆C的动弦P1P2的端点P1，P2作两切线，并相交于P（x′，y′）.由上面结论得动弦P1P2的方程为x′x+y′y=r2.又因M为（x0，y0）在直线P1P2上，则x′x0+ y′y0=r2，以x，y分别代替x′，y′，则直线xx0+yy0=r2竟是以弦P1P2的端点P1，P2为切点的两切线的交点P的轨迹方程.

反思4：例题里面所给圆的方程是标准方程x2+y2=r2，结果得到相应切线方程是x0x+y0y=r2，只是把x2，y2分别换成了x0x，y0y；对于圆心不在原点的圆，例如（x-a）2+（y-b）2= r2，其相应的切线方程又是什么呢？

学生经过思考、猜想、证明出相应的切线方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

反思5：M（x0，y0）为圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点，方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2表示过点M的切线方程，如果点M不在圆上，而是在圆外，那么此直线还表示圆的切线吗？如果不是，它又表示什么呢？

学生经过猜想、辨析、验证得出该直线表示圆的“切点弦”直线.

反思6：圆为一种特殊的二次曲线，椭圆、双曲线、抛物线是另外几种重要的二次曲线，它们有没有类似的结论呢？

经过这一系列的反思再创，学生不仅掌握了二次曲线中的一个一般性结论，更重要的是，让学生在探索、实践、发现的过程中享受成功，在兴奋、愉快的情景中既学到了知识与方法，又培养了思维的批判性，获得了自己意想不到的成果.他们经过自己的努力，感受到了探究的艰辛，磨练了自己的意志，这比单纯地掌握知识更有意义.

笛卡儿说，“我所解决的每一个问题将成为一个范例，以用于解决其他问题”.“丰富而条理的知识储备是解题者的至宝”.学生对定义，定理，公式和法则的应用是比较熟悉的，但不善于发现和应用已经解决的问题作为范例去解决新的问题.本文从教材的角度出发，阐述了利用课本题，进行探究和推广，变式，并把所得结论加以应用，探究过程层层深入，优美自然，能使学生强烈地感受到数学的美妙以及课本习题中潜藏着的功能，提升思维能力，优化思维品质.在培养学生的思维能力特别是创新能力的新课程理念下，这种回归课本探究教学，不仅可以引起学生对课本习题的重视，更有利于将他们从繁杂的参考资料中“拯救”出来，对于激发学生的学习兴趣，提高数学素养十分有益.