攻克一例，完解一类

☉浙江省余姚中学龚凤

攻克一例，完解一类

☉浙江省余姚中学龚凤

在高中平面向量的学习中，经常会遇到以三角形为载体，且涉及一串向量线性和的问题，初次接触，使人会有无从下手的感觉.本文试图通过对典型例题的多种解答，来揭示问题的特点和本质所在，同时找到这类问题的最佳解法.

引例△ABC的面积为12，P为△ABC所在平面内一点，且则△ABP的面积为（）.

A.3B.4C.6D.9

分析：本题的难点是如何利用所给条件来确定P点的位置，为此，可考虑用坐标法来解决.鉴于本题是选择题，又由题意获知，凡面积为12的三角形，只要符合条件，所得到的△ABP的面积是相等的，因此可构造特殊三角形，以简化解题的运算过程.

解法一：如图1，设△ABC的三个顶点为A（2，0），B（-2，0），C（0，6），又设P（x，y），则=（2-x，-y），=（-2-x，-y），2P—→C=（-2x，12-2y），3=（-12，0）.

图1

注意到P点的纵坐标为3，故可得△ABP的面积为6.

如果把本题改成证明题或解答题，解法一就不适用了，须采取如下解法.

解法二：不失一般性，如图2，可设A（a，0），B（b，0），C（0，h），又设P（x，y），则

图2

解法二较之解法一，在运算上虽麻烦了一些，但还属于可承受的范围；另外，读者必须明白，当A或B是钝角时，解法二依然是成立的.到此，读者自然会产生这样的一个疑问，不利用坐标法而采用向量法能否解决本题呢？回答是肯定的.

图3

通过对上述问题的解决，不难得到两条经验性的结论：（1）采用坐标法解题的关键是坐标运算的可解性；（2）采用向量法解题的关键是条件等式的化简，从中寻找向量间的关系.因此，为了获得更佳的解法，我们需要在两者之间做一选择，请看下面的例题.

分析：从向量的条件等式入手去解题，似乎有较大困难，故先采用坐标法去求解.

解法一：如图4，设A（a，0），B（b，0），C（0，h），又设P（x，y），则=（x-a，y），2=（2x-2b，2y），=（3x，3y-3h）.

图4

由此可知，点P在中位线MN上，此时已无需深究P点的横坐标，立即可得C—→Q=2m.

然而，若采用向量法去求解，难度会骤然增大，不仅涉及向量的一些新知识，还要依赖于一些平面几何的知识.

由题设知，2（P—→A+P—→B+P—

→C）=P—→A-P—

→C=C—→A，于是得到P—→G=

下面画图.如图5，先画出重心G，再画出P点位置，CP的延长线交边AB于点Q，PG的延长线交边AB于点D.

图5

不难看出，如若变动m、n在等式中的位置或变动所求结果，并赋值予m、n，我们就能构造出许多这类问题，有兴趣的读者不妨一试.最后，必须指出，遇到此类问题，坐标法总是可行的，不过当你对条件等式的化简确有把握时，向量法也不失是一种好方法.F