浅议数学概念教学

刘尊革

摘要：数学知识体系主要是由数学概念和数学命题构成的，而数学概念又是数学命题的主要组成部分，是学生掌握数学知识、形成基本技能的关键，是解决问题的基础，而数学概念教学是数学教学活动的主要内容之一。数学概念具有高度的抽象性和广泛的概括性，一些学生之所以感到学习数学有困难，很大程度上是因为对数学的相关概念理解不透，没有真正掌握概念的本质属性。因此，抓好数学概念教学对提高数学教育教学质量至关重要。

关键词：本质属性；数学概念；数学概念教学

一、数学概念的含义

人们对概念的认识和理解，大多源自哲学的认识论。认识论认为，人的认识是对客观现实的主观反映。概念被定义为“反映客观事物的共同本质属性的思维形式”。数学概念则是反映某些数学对象共同本质属性的一种思维形式，是用数学语言来揭示客观事物的空间形式与数量关系的本质属性。数学概念包括概念的名称（符号）、定义、属性、例子四个方面。例如“直角三角形”这个概念，这一概念的名称是“直角三角形”（符号是Rt△），定义是“有一个角是900的三角形叫直角三角形”，本质属性是“有一个角是900”，举例可以通过正面举例和反面举例进行辨析。

二、数学概念的特点

（一）数学概念的抽象性

这是因为数学概念代表的是一类数学对象的本质属性，而不是个别对象，它在一定的范围内具有普遍意义，这就决定了它的抽象性。如“直角三角形”这个概念，代表的是各种颜色、各种大小、各种位置的抽象的直角三角形，而任何具体颜色、大小的直角三角形都只不过是它的特例而已。

（二）数学概念的概括性

由于数学概念反映的是事物在空间形式和数量关系上共同的本质属性，而不是个别事物表面上的属性，通常是经过多层次的抽象概括得来的，它往往脱离了事物的具体原型，所以有很强的概括性。

（三）数学概念的符号化

数学概念要用数学语言表达出来，数学符号是数学语言的一种，它具有简洁、明了、便于记忆等特点。许多数学概念都用特定的数学符号来表示，如平行用“∥”、垂直用“⊥”来表示等，充分体现了数学概念表示方式的简单性，同时也展现了数学的简洁美。

（四）数学概念的系统性

每一个数学分支的数学概念都是由原始概念出发，经过不断抽象的定义，使得前一层的数学概念为后一层抽象程度更高的数学概念服务，从而形成一个概念系统。就某一具体的数学知识而言，相关的概念也会形成一个系统。如与三角形这一知识相关的概念，边、角、高、中线、角平分线、外接圆等组成一个关于三角形概念的系统。

三、数学概念的类别

（一）原始概念

从一个实例来认识原始概念。“三条边都相等的三角形叫等边三角形”（用到了“三角形”的概念），“三条线段首位相连构成的封闭图形叫三角形”（用到了“线段”的概念），“直线上两点间的部分叫线段”（用到了“直线”的概念），那么什么是直线？如何定义？以此类推，总有一个概念不能定义。“直线”就是一个原始概念，类似的原始概念还有许多，如点、平面、集合，等等。

（二）定义性概念

数学中的概念基本上都是定义性概念，如三角形、等比数列、正弦函数、复数等都是定义性概念。需要注意的是，有些数学概念在学生开始接触时并不以定义性概念出现，如“代数式”这一概念，一开始是这样描述的，像5，a，4a，ab，a+b，s/t，a2这样的式子都是代数式，到后续学习时才给出代数式的定义性概念：代数式是用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连接成的式子。教材这样安排是考虑到学生的认知水平，教师教学时重点不应放在如何给代数式下定义，应淡化概念形式，注重概念的实质。

四、数学概念获得的心理分析

学习数学概念，实质上就是让学生理解并掌握一类数学事物的本质属性，目的就是运用概念来解决问题。学生学习数学概念有两种基本方式，一是概念的形成，二是概念的同化。

（一）概念的形成

概念的形成是指从大量的具体例子出发，经过观察、分析、比较，归纳出一类事物的本质属性的过程，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验，最后通过概括得到概念的定义。其心理活动过程大致可分为以下几个阶段：1.通过例子——提供辨别刺激模式；2.通过比较、类比——找出共同属性；3.通过抽象、检验——确认本质属性；4.通过概括——形成概念。数学概念的形成是由特殊到一般、由具体到抽象的过程，从概念本身的角度来考虑，适用于在概念体系中起基础作用和核心作用或较难理解的数学概念的学习。

（二）概念的同化

概念的同化是指一般用定义的方式直接揭示概念的本质属性，学生利用已掌握的概念去理解新的概念。以概念同化方式获得概念的心理发展过程如下：1.观察——概念定义；2.分析——突出本质；3.系统化——新旧联系；4.比较——实例确认；5.具体化——概括应用。学生能否建立与头脑中原有数学概念的联系，明确新概念的内涵和外延，再通过对实例进行辨析，弄清新旧概念间的区别，将新概念纳入到原有的数学概念体系中，使原有的认知结构得到完善，形成新的知识系统，是学习新概念能否成功的关键。概念的同化是学习数学概念的主要方法，运用概念的同化方式学习新概念，要求学生要有一定的学习动力和学习积极性，要学习的新概念本身也要具有一定的逻辑意义，同时学生原有的认知结构中要具有同化新概念的知识基础。

在实际的概念教学中，一般不让学生单纯地用某一种方式来学习数学概念。用概念的形成方式来学习，比较接近人类自发形成概念的过程，方便对概念的理解，但较耗时。若仅用概念同化的方式来学习，由于数学概念的抽象性强，概括性广，学生难以把握概念背后的丰富材料，对概念的理解往往不够透彻，影响对概念的本质属性的掌握，所以，教学中教师应结合所学概念的特点灵活选择，两种获得概念的方式综合运用，注意扬长避短，互相补充，使教学效果达到最佳状态。

五、促进数学概念学习的教学建议

数学概念的教学过程大致分为三个阶段，即概念的引入、概念的理解和概念的应用。

（一）概念的引入

在概念的引入时，教师应侧重于引起学生的注意，激发学生的学习兴趣，体现概念的本质，蕴含概念发生的思维方法等，做到先声夺人。

1.根据概念的定义形式引入

数学概念一般都是用比较精确的数学语言来定义，给概念下定义的形式多种多样，不同形式的定义要考虑用不同的方式来引入。如在“抛物线”概念的教学中，教师课前准备好教具，课堂上现场演示，让学生到讲台前具体操作，亲身体验抛物线的形成过程，充分揭示概念的本质属性，而不是把教学重点放在讲解抛物线的定义上。

2.根据学生认知的思维特点引入

在不同的年龄阶段，学生认知的思维特点有明显的区别，小学生以具体的形象思维为主，中学生由具体的形象思维发展为抽象的逻辑思维，大学生的创造性思维逐渐确立。但不论在哪个学段，在引入概念时，若能结合其认知的思维特点，注意引入方式的趣味性，激发其学习兴趣，就会收到良好的教学效果。

（二）概念的理解

俗话说：“概念不清，做题瞎蒙。”为了尽量避免这种现象，教学中教师可以通过下列几种方式让学生加深对概念的理解：

1.重视对概念内涵的分析

用来给数学概念下定义的语言一般都很精炼，表达严密，概括性较强。教学中，教师要抓住概念中的关键词、句，并对其进行解剖分析，充分揭示概念的内涵，让学生正确理解并掌握概念的本质属性。如在偶函数的概念教学中，根据“对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x）成立”，分析得出，偶函数的定义域必须关于原点对称。

2.利用变式，突出概念的本质属性

一般意义上的教学变式分为两类：一是属于概念外延集合的变式（正例变式）；一是虽不属于概念外延的变式，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式（反例变式）。正例变式有利于“丰富”概念，反例变式有利于“纯洁”概念，在概念的形成阶段、深化阶段及应用阶段合理运用变式教学，能尽可能避免概念的非本质属性带来的干扰，突出其本质属性，有利于提高概念教学的课堂效率。如学过函数的奇偶性后，可列举一些具体的函数（正、反变式）让学生进行辨析，以加深对奇、偶函数概念的理解。

3.注意概念间的类比

数学中有许多概念是相关联的、类似的，教学中应有机地把它们联系在一起进行类比，在比较中加以甄别，澄清模糊，能起到由此及彼、温故知新的作用，如数列极限和函数极限的类比。

4.注意使概念系统化

在数学概念教学中，不仅要让学生掌握单个的概念，还要让学生掌握一定的概念体系，建立良好的数学认知结构。除了原始概念外，一般一个新的数学概念总是在原有的概念上形成的，因此，新旧概念之间有着内在的联系，如相邻关系、对立关系、矛盾关系、从属关系、并列关系等，这些联系是建构概念体系的前提。教师应结合教学实际，及时引导学生将学过的概念加以整理、归类，理清概念间的关系，将它们连点串线，建立科学的概念网络体系。

（三）概念的应用

数学命题离不开数学概念，问题的解决更离不开数学概念。概念的运用有助于检查学生对概念理解和掌握的程度。在概念的运用中要注意精选例子，能举一反三，触类旁通，避免题海战术。

数学概念教学是数学教学中的一项重要任务，数学概念的学习是学生学习数学的基础。教师在教学设计中应注意以下几点：一是尽可能地展现数学概念的来龙去脉，从学生熟悉的、亲身感受的生活经验人手；二是注意用准确的数学语言来描述数学概念。教师在对数学概念进行描述时，应当用精炼的语言，准确地反映概念的本质特征；三是教师应充分估计到学生对概念理解的困难，帮助学生从不同角度理解数学概念；四是数学概念的教学是一个反复多次、螺旋上升的过程。对概念的学习不能只停留在概念课上，有时需要把它放在整个数学课程体系中去认识。对概念的学习，应成为其他数学课型中随时随地关注的焦点，数学概念应作为认识数学、理解数学基本脉络的一个基础。

从某种意义上讲，学生数学水平的高低往往取决于对数学概念掌握的程度。作为数学教师，不仅要认识到数学概念和数学概念教学的重要性，更要结合教学实际，思考如何具体实施数学概念教学，从而达到提升学生数学素养的目的。