画“圈”能出彩

张艳青

【摘 要】基本数学思想是应该体现基础数学中具有基础性和总结性的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。“整体思想方法”对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握，化零为整。本文从缘起、例谈、慎用三个大的方面谈出整体思想方法在小学数学中的应用，希望能给读者在教学实践中给予指引。

【关键词】数学思想；整体思想方法；缘起；例谈；慎用

一、缘起

（一）什么是小学数学思想方法

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。

由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多地反映在联系方面，其本质往往是一致的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

（二）什么是小学数学整体思想方法

所谓整体思想方法，就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。小学“整体思想方法”对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往是一种更便捷更省时很重要的方法。

画“圈”的现象在各学科及生活中都有使用，那么在小学数学教学中，在哪些地方有画圈的必要，体现什么样的数学思想方法，在这里进行相关趣味分类及赘述。

二、例谈

（一）数字认识圈出独立整体

用“圈圈图”很明显的容易和周围的事物区分开来。在幼儿阶段，认识数字，一般容易和周围物体混淆，强调这是独立的整体，数出数字“几”，初步建立整体思想意识。

（二）比多比少圈出相同整体

比多少教学中，把“相同对应部分”圈起来，强调圈出整体不再对比，为教学增加简易助学性，忽略相同整体，只是对比差异，简单直观、效果较好。

（三）数数组成圈出单位整体

“圈一圈”是数数和组成最常见的方法，可以10个10个的圈，也可以5个5个的圈，甚至20个，能够把数量较多的物体有序有条理的圈出，对数的合计和组成教学助学效果明显，对计数单位的产生和使用能化零为整。

（四）进位退位圈出关键整体

在加法进位中，6+5=11，散装凑十变整装就是1个十10个一；把凑成的“10”圈起来，进行结构处理，直观简单。减法的退位强调破十法或连续减，对于减的“整体”有考究，突出退位甚至连续退位的关键。

（五）几倍多少圈出“倍数”整体

第二行摆的是第一行的5倍，把第一行的3个圈起来就是1倍数，第二行画出5个这样的“整体”；同样黑色皮球的2倍就是可以“圈”起来，表示一个不可分割的“整体”，用“三部分”形式表示（较大量、较小量、相差量）把1倍数或几倍数圈起来，正好把复杂的数学问题简易处理，突出大环节，突破难点。

（六）包含关系圈出“每份”整体

包含关系是小学除法教学的主要关系之一，用（总数量）里面包含有（ ）个“（每份数）”，突出整体感知，以除数为整体很快判断出商、余数。做好除法的铺路和延伸教学。

（七）运算定律、圈出转化整体

在整数定律应用到小数中，圈出乘法交换律和结合律、分配律，在转换中演变成定律模式，强调转化过程，突出定律的参照与差异，使用起来简便和实效。

（八）运算算理圈出细节整体

运用比的基本性质进行化简比，比的前项和后项同时乘（或除以）相同的数，比值不变，中间的过程圈出来强调细节。小数乘法算理中把小数变整数，再把乘积变回去，强调细节，用整体圈起来，更有直观性。中间有0的除法，让0经历被除数的过程仍得0，体现这个过程的“多余”，感受到没意义的情况下，中间有0的就会用运算法则进行合理快速运算。圈在关键处，必要时，能微观处理服务算理。

（九）数学广角圈出简易表述整体

用表格法本来是很好的直观归纳对比，但是数学广角“找次品”中，不能够体现天平平衡的过程；如果用详细的文字表述，需要的文字书写量大，也是很难获得直观的找次品的方法，尤其是找次品的次数，用第5题的两部分表述很麻烦，下面设计一种创新的分解圈图找次品的方法很简易实用。

（注：每一个圈表示一次天平使用，用三次就能找出次品。圈出4和4，1和1，1和1）

（十）函数应用圈出典型整体

读题审题理解题意，圈出典型词语——“照这样计算（含盐率一定）”“去时、回来时（路程一定）”“同样的笔（单价一定）”等突出一个量变化另一个量也在变化，圈出的是整体不变。这种带有一定函数意识的题目在整体思想操作中较好体现，有助于学生审题解题。

（十一）算法多样圈出不同整体

计算数的乘法，或者多样解决问题：一共多少人？（用笔圈一圈再分别列式）可以列出8×7；7×8；8×4+8×3；8×5+8×2……不同的列式展示“不同整体的几个几”，拉近与生活的感受，体现列式多样化与最优化，在相同结论下进行发散思维的练习，对一题进行充分深刻的利用。

（十二）因数倍数圈出对应整体

圈出相同的因数、相同的倍数，更容易对比分析，使用了对应思想和对比分类思想、数形结合思想等，把整体思想与之有机结合，更能体现整体思想的变通与灵活使用。

（十三）中间问题圈出提示整体

多步计算的公式中能够理解圈出中间问题作为一个整体，能多角度理解使用公式。多步应用题中，强调“三部分”策略的基本理念，把需要分步计算的圈为整体，增加整体观念和大处着眼意识，综合提升解题技能。

三、慎用

史宁中教授认为数学基本思想本质上有三个：第一个是“抽象”，第二个是“推理”；第三个是“模型”。通过抽象：现实—→数学；通过推理：数学—→数学；通过模型：数学—→现实，得到数学的基本特征：一般性、严谨性、应用广泛性。

数学符号有很多种，画“圈”也是一种符号。所以画“圈”时不要随意乱用，最好能呈现“画圈点睛”的效果。在平时的教学中，有的老师喜欢把画圈作为一种习惯，只要是强调都喜欢画圈表示，并且有的一个版面圈了很多个，试问：一个版面那么多圈，哪个地方是真正的思维点，哪个地方是解决问题的侧重考虑的？数学教材中的画“圈”是一种数学思想或多种数学思想的体现，起到“思维中转站”的作用，圈在必要处，画在关键点，每一圈应该要起到切中要害的作用，希望要慎用。