新课程理念下高中立体几何教学的研究与探索

袁雯青

高中立体几何部分知识的学习，与代数知识既相互区别又有一定的联系.因而在立体几何的教学过程中，教师要注重几何与代数的联系与转化，根据学生个人情况，帮助学生找到适合自己的学习、解题方法，从而让学生更好地掌握这部分知识，并通过立体几何的学习提高数学能力和数学素养.下面为笔者在立体几何教学过程中所遇见的常见问题及其处理策略，敬请同行参考.

一、常见问题

高中立体几何是教学大纲中的重点，更是学生学习的难点.在针对这部分知识的教学活动中，学生面临的两个突出的问题是，一、空间想象能力的不足.甚至表现为，在教师拿着立体模型时，很容易就能弄清楚线线、线面之间的空间关系，但只要没有实物对照，就无法想象出空间图形；二、学生在代数与几何图形之间的转换不够灵敏.在解题过程中，由几何图形向数据计算的转换过程，逻辑性不强，计算过程不严谨，得出的结论不准确.

二、处理策略

在高中立体几何部分教学过程中，教师首先要让学生理解并掌握分析立体图形的基本技能，然后进一步锻炼学生的空间想象能力.要让学生在解题过程中保持立体感，找到最佳解题思路.

1.培养学生观察分析能力，奠定实践技能基础

在刚开始进行立体几何学习时，要立足培养学生的观察分析能力，从基础的立体几何解题技巧开始，锻炼学生的立体感、空间想象能力，帮助所有学生掌握基础知识和基本技能.

例1 已知平面α∥平面β，直线AB和CD是异面直线，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，E、F分别为AB和CD的中点，求证：EF∥β.

分析 此题要构建面面平行缺少了一条线，即要连接AD（或BC），根据中位线的平行关系可知，应该取AD中点来构建面面平行，进而推出线面平行.

证明 连接AD，取AD中点G，连结EG，FG.E，G分别为AB和CD的中点，所以EG∥BD.EGβ，BDβ，所以EG∥β.G，F是DA，DC中点，所以GF∥AC.记平面ABC=γ，γ∩β=l，则由α∥β，α∩γ=AC，可知AC∥l，所以GF∥l.lβ，GFβ，所以GF∥β.又EG∥β，EG∩GF=G，EG平面EFG，GF平面EFG，所以平面EFG∥β，由EFβ，可得EF∥β.

在学习立体几何过程中，教师应多加入类似的例题，通过例题锻炼学生的观察、分析能力，帮助学生消化理解立体几何中的基本知识，如线面关系判定、面面关系等，可以帮助学生更好地理解立体图形，培养立体感.

2.诱发学生兴趣，联想定理内涵

立体几何部分的学习，对学生的空间想象能力是有一定的要求的，在这个学习阶段，对学生学习兴趣的培养尤为重要，要采用一些新颖的教学方式，吸引学生的学习兴趣，同时多介绍些难度适中的题目，帮助学生培养学习的信心和解决难题的积极性.

现代教学手段：计算机、多媒体技术，在立体几何部分的教学中，可以从很大程度上帮助学生更形象地认识立体图形.再通过对比投影图形与手绘立体图形之间的差异，帮助学生更好地培养立体感.另外，利用多媒体技术投影立体图形，最大的好处是可以通过教师操作，将图形进行旋转，或动态变化，让学生能更清晰地看到所观察线、面之间的关系，让学生从一个更直观的角度去理解空间关系，有助于学生深刻理解定理内容，加深对基础知识的印象.

3.引入多种方法，全面解决问题

针对一些立体感较差的学生，直接观察法显然不适用，另外，一些立体关系较难观察的题目，采用直接证明计算，很难解答而且极容易出现错误.这个时候可以采用体积法、向量法（平面或空间）等，利用数据的计算或者巧妙的平移、射影等方法，确定立体关系，帮助习题的解答.

例2 如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是两条棱B1C1，C1D1的中点，求点C到截面BDFE的距离.

分析 要求点到面的距离，要过此点作面的垂线，即求垂线段的长度，关键就是确定垂足位置，而确定垂足，常用面面垂直的性质定理，用交线的垂线来确定.

解 连结AC，A1C1，记AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，连结PQ，作CM⊥PQ于M.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1⊥BD.又AC⊥BD，所以BD⊥平面ACC1A1.BD平面BDFE，所以平面BDFE⊥平面ACC1A1.由平面BDFE∩平面ACC1A1=PQ，CM平面ACC1A1，所以CM⊥平面BDFE，所以CM即为所求.在梯形CPQC1中，CP=22，C1Q=24，CC1=1，PQ=324，所以CM×PQ=CP×CC1，CM=23.

立体几何中的求距离问题，对作垂线的要求是比较高的，而常用的思想方法就是借助于面面垂直，将其转化为到交线的垂线来处理，将空间距离转化为平面距离，利用面积转换等思想解决问题.此种求距离的类型也可以借助三棱锥中的体积转换来求，如此题可以利用VC-BDF=VF-BCD，求出点C到截面BDFE的距离.

例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、D1A1的中点.（1）求证：BG∥平面A1EF；（2）若P为棱CC1上一点，求当CPPC1等于多少时，平面A1EF⊥平面EFP.

证明 （1）连结GD，BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、G分别是棱AD、D1A1的中点，

所以A1G=12A1D1，

FA=12AD，

由A1D1∥AD且A1D1=AD，所以A1G∥FD且A1G=FD，所以四边形A1GDF是平行四边形，所以A1F∥GD.又GD平面A1EF，A1F平面A1EF，所以GD∥平面A1EF.因为E、F分别是棱AB、AD的中点，所以EF∥BD.由BD平面A1EF，EF平面A1EF，所以BD∥平面A1EF.又GD平面BGD，BD平面BGD，BD∩GD=D，所以平面BGD∥平面A1EF.BG平面BGD，所以BG∥平面A1EF.

（2）取EF中点Q，连结A1Q，PQ，A1P.因为A1E=A1F，所以A1Q⊥EF.又平面A1EF⊥平面EFP，由平面A1EF∩平面EFP=EF，A1Q平面EFP，可知A1Q⊥平面EFP.又PQ平面EFP，所以A1Q⊥PQ，即∠A1PQ=90°.

本题（2）中的第二种方法，平面向量法，在解这类探索性问题中，也是一个很好的工具.

在立体几何部分的学习过程中，要积极鼓励学生开发脑筋，用不同的方法，帮助学生更好地完成题目的解答.

立体几何是高中数学中的重要部分，对学生的数学成绩影响很大.在教学过程中，教师要以培养学生空间想象能力为基础，逐渐锻炼学生对立体图形的理解和分析能力.通过借助先进的教学手段，创新教学方法，激发学生的学习兴趣.在解题思路上，要帮助学生根据个人情况，找到适合自己的解题方法，树立“数形”结合的思维模式，帮助学生锻炼对立体几何的分析能力，提高解题效率.