高中数学轨迹方程解法

代红英

摘要：求 轨迹方程是每年高考的必考内容，分值高，难度大，能否正确掌握对高考的成绩至关重要。结合例题介绍五种常用的方法，以期帮助读者掌握求轨迹方程的方法和技巧。

关键词：高中数学 轨迹方程 参数法

求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合。求某种条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间的特性去寻求变量之间关系。因此，求轨迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件，通过“解析化”将其转化为代数式。由于动点运动规律给出的条件千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。

一、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含X，Y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种方法称为直接法。

当o

当p=1时，所求轨迹是抛物线在y轴右侧部分；

当p1时，所求轨迹是椭圆在y轴右侧部分；

注：求轨迹的步骤：1）建立适当坐标系，设点的坐标；2）根据条件列出关系；3）转化为方程F（x，y）=0；4）整理化简得轨迹方程；5）必要时进行讨论。

二、定义法

若动点的轨迹的条件满足某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），则可以根据定义直接求轨迹 方程。

三、参数法

有时求动点应满足的几何条件不易的出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间）的制约，即动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以这个变量为参数，建立根据的参数方程。这种方法叫参数法。如果需要普通方程，只要消去参数即可。在求轨迹方程中，参数法的应用较为广泛，若参数选择得当，常可使问题获得较为简捷的解法。

注：参数法求动点轨迹方程的步骤：（1）建立坐标系，设动点P（x，y）；（2）根据轨迹的条件，选取适当的参数；（3）确定动点坐标中的x，y与参数的关系式，即建立参数方程；（4）消去参数得到普通方程；（5）讨论；其中确定参数是关键。选择恰当地参数应该是便于建立动点的参数方程，且容易消去参数。另外，但动点随着动直线绕某点旋转时，选择斜率k为参数比较方便。

四、交轨法

求轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题。可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，此种方法叫交轨法。

例4：已知过抛物线=4x的焦点F的直线交抛物线于AB两点 过原点O作OM⊥AB 垂足为M ，求点M轨迹方程。

解：

a.当直线斜率不存在时，直线方程为x=1.此时M点坐标为（1，0）

b.当直线斜率存在时，设直线AB的方程y=k（x-1），则直线OM的方程可写成y=-x/k；两式相乘消去k，得=-x（x-1），即点M的轨迹方程为将M（1，0）代入知点M（1，0）在该轨迹上。

∴ M的轨迹方程为：

注：用交轨法求动点的轨迹方程时，不一定非要求出交点的坐标，只要能消去参数，得出p点坐标之间的关系即可。

求轨迹方程应注意的几个问题：

1.应多层次、全方位地分析动点所满足的全部条件，特别应注意动点受到的隐含的约束条件，防止扩大或缩小点集的范围。

2.方程化简过程中，一定要注意同解变形，对非同解变形，要注意判别x，y的存在范围并予以说明，以确保轨迹不重不漏；

3.对实际问题，要注意实际问题对动点轨迹的限制；

4.要注意区别”轨迹“和”轨迹方程“是两个不同的概念。若求动点的轨迹，不仅要写出动点的轨迹方程，还要说明轨迹的名称形状特征及位置特点等。

另外，还有相关点代入法，本文不再详述。

参考文献：

[1] 普通高中课程标准试验教科书·数学（选修2-1）.北京师范大学出版社，2008.

[2]高中数学解题方法.湖北教育出版社，1995.