对于初中生数学解题后反思品质的研究

朱进红

[摘 要] 数学解题是数学知识应用的重要环节，数学解题后即时进行反思可以提升学生的数学思维水平. 反思品质是衡量学生反思能力与效益的重要指标.研究表明，反思品质与学生原有的数学认知结构、数学思维能力（建模能力）以及数学概括能力有关. 提升学生的反思品质，可以从这三个维度进行：注意时效性，加强引导，注重方法的运用.

[关键词] 初中数学；数学解题；反思品质

初中数学教学中最为常规的知识应用就是数学解题，作为当前衡量教学质量的最直接的手段，学生的解题能力得到了所有教师的关注，提升学生的解题能力也成为初中数学教学的重中之重. 通常情况下，教师关注得更多的是自身的教学，即都会思考如何通过改善自身的教学来实现学生解题能力的提高，这一思路显然是正确的；但与此同时也要看到，这并非唯一的思路，甚至不是最重要的思路. 要真正提高学生的解题能力，还得从学生自身入手. 美国著名的教育学者波斯纳曾经给教师的成长提出过一个途径，即实践加反思，就可以实现专业成长. 事实上，在笔者看来，对于学生而言，解题能力的提升也可以遵循这一路径. 也就是说，如果把学生的解题看作一种实践的话，那学生的反思对于提升学生的解题能力就十分重要了. 也因为这个原因，培养学生解题后的反思品质就成为一个重要的研究对象.

初中数学解题后反思品质之简述

反思是发生在学生解题之后的，此时学生已经经过了一个综合运用数学知识去分析并解决数学问题的过程. 一般情况下，解题后的反思有两个阶段：一是解题后的即时反思，此时学生虽然说已经完成了解题过程，但是还没有经过他人的提醒或者是点拨，完全是基于原有的解题思路进行深入的思考. 此时思考的重点一般是原有解题过程是否存在不足的地方，是否有着其他的解题方法等；另一种情况是教师讲解后的反思，这个时候学生的反思更多的带有他人（主要是教师）的解题观点，此反思过程中学生的思路与教师的讲授思路并进，高效的反思常常能够让学生在两种思路的碰撞中有所收获. 当然，如果不是教师讲解而是小组合作，则学生的反思心理过程与此也是类似的.

这里可以先举一个简单的例子，在教授方程的时候给学生展示了这样的一个等式：（x+y+5）（x+y-4）=0，求（x+y）的值. 在初中学生第一次遇此问题的时候，相当一部分学生往往会将这一等式转换成x+y+5=0与x+y-4=0组成的方程组，然后通过二元一次方程组的加减消元法去分别求出x和y的值，然后再进一步求出x+y的值. 在学生顺利得出结果之后，笔者并没有急着去给出更好的方法，而是让学生就着原有的解题思路进行反思. 也许是学生看出了题目较简单但教师还给出这么长时间思考的“怪异”，他们开始反思自己的解题过程. 其中，有部分学生认为自己的解题过程完美而放弃了继续思考；也有学生有一种深究的心理，最后他们发现原来本题还有更好的解法，那就是将x+y视作一个整体，可以直接求出最终的结果为-5或者4.

显然，在此过程中可以看得出学生的反思品质有所不同，而作为数学教学语境之下的反思品质，实际上就是根据学生的反思结果来得到反馈与验证的. 从这个角度讲，初中学生在数学解题之后的反思品质一般与这样的几个因素有关：一个是学生原有的认知结构. 认知结构不同于知识结构，后者是客观的，而前者是主观的. 认知结构能够反映一个学生的知识建构情况，而知识建构的过程与运用知识解题的过程往往有相通的地方，因此认知结构常常直接影响着解题后的反思品质. 二是学生的数学思维. 数学解题归根到底是数学思维的产物，数学思维的水平高低往往对反思品质也有着直接的影响. 其中发散性思维对于反思品质的影响最为直接. 三是学生的概括能力. 概括能力是反思品质的关键因素，基于分析去进行概括，也是学生经过反思之后有没有质的提高的关键所在.

下面分别就这几个影响因素，谈谈如何提高学生解题后的反思品质.

提升解题后反思品质的有效途径

一个基本的逻辑关系是，在解题之后即时引导学生进行反思，是最为有效的提升学生反思品质的关键. 通常的数学新授课上需要有这样的过程，而阶段性考试或者期末、期终考试之后，也应当在第一时间进行试题的讲评，以充分利用学生记忆中的解题思路，进而培养学生的反思品质.

接着上面一点的分析，首先来谈谈如何基于认知结构提升学生的反思品质. 同样来看一个例子，有人曾经设计过这样一道题目：已知x2+x=1，求x3+2x2+999的值. 笔者在将本题提供给学生之后，学生的第一反应是先根据x2+x=1求出x的值，然后将x的值代入x3+2x2+999中求结果. 笔者没有阻止学生的这一思维，而是给时间让他们去进行尝试. 结果并不出乎意料，很多学生发现两步求解时都有计算上的困难. 由于是习题课，因此学生相对还是比较自由的，在有学生抬头看到笔者似笑非笑的时候，他们心中有所悟，于是低头重新进行思考；而有的学生则锲而不舍，终于花大力气求出了最后的结果；当然，也有的学生害怕计算困难，同时又想不出新的办法，坐在那儿束手无策. 思考这样的过程会发现，其实不同类型的学生背后都有着不同的认知结构. 第一类学生的认知结构丰富，因而可以迅速、顺利地实现不同结构之间的转换，在他们的眼中，解方程时的未知数并不局限于某个具体的未知数，也有可能是x2+x这样的整体；相比较而言，第二类学生的认知结构就比较单一，而第三类学生不仅认知结构单一，思维方式和解题态度还存在问题. 因此，教师要提升学生的反思品质，首先就是要丰富学生的认知结构，尤其是在新授课的教学中，要特别强调知识的广泛性与多元性，要通过多样的例题来拓展学生的解题视角.

就数学思维这一因素而言，基于其来提高学生的反思品质，关键还在于数学思想的显性化教学与数学模型的建立. 比如上面所举的例子当中，实际上关键在于将x3+2x2+999转换成x3+x2+x2+x-x+999，进而转换成x3+x2-x+x2+x +999，于是就可以得到x[x2+x-1]+（x2+x）+999，转换至此，答案就基本上出来了. 这样的转换需要的是什么？在引导学生进行反思的过程，学生会自然将这一思路与原有的思路进行比较，学生会发现如果大脑中的未知数只有x这一个形象，那解题时自然就会想着去解x；而如果大脑中的未知数的形象是多样的，那就有可能将x2+x视作一个整体. 问题在于，这样的认识如何形成？如果由教师来讲授，效果不会好，因为学生没有经过内化的心路历程. 因此，反思是最好的方法，教师在其中应当引导学生去发现：原来所建立的关于方程的认识中的未知数可有着多重表现！同样，这也是一个数学建模的过程，只有建立了广泛且有效的未知数模型之后，学生在遇到类似问题的时候，才会更顺利地实现解题.

至于数学概括能力. 有专家指出，概括能力是最能够反映学生学习能力的一个因素，反思的过程与概括的过程几乎是同步的，只有在反思的过程中不断地概括，反思品质才会真正得到提高. 比如说，在中考数学中复习二次函数，自然就会提到二元一次方程组，通常情况下教师都会主动地给学生辨析两者之间的关系；而在一次复习过程中，笔者做了这样的一个尝试：分别给出二次函数和二元一次方程组的例题，让学生分别去求解. 这两道题目不需要复杂，关键在于让大多数学生在解题过程中能够复习到两者的基本知识. 在解完之后，笔者让学生对两题进行对比，然后反思如何有效地分辨这两种类型的题目，这是一段反思的过程. 反思的具体方法就是比较，比较是初中学生最常见的思维方法，也正是在比较的过程中，学生概括出了二次函数与二元一次方程的异同点，从而很好地将两个知识点联系在一起，这对于巩固学生的认知结构又起到了好处，也就是说从几个角度提升了反思的品质.

解题后反思品质提升的三点注意

提升解题后的思维品质，作为类似于专业成长的过程，其对学生的数学解题能力的提升意义不言而喻. 而根据笔者的研究发现，要提升学生的反思品质，还需要注意以下三个方面：

一是要趁热打铁. 解题结束之后是学生的思维最为活跃的时期，也是学生解题思路最为清晰的时期，利用这个时间引导学生积极反思而不是急着做下一道题目，可以很好地在学生热络思维的基础上实现反思.

二是要注意反思方法的运用. 事实证明，很多初中学生不知道如何有效地进行反思，很多时候给出思路，他们也一无所获，关键原因在于他们缺少反思的具体方法. 像上面第二点给出的比较的方法，就是很好的反思途径. 如果教师能够同时提供可比较的试题，以让学生在解题过程中发现两者似乎有相似之处，然后通过反思再去自主发现相似之处，进而寻找出不同之处，那对于提升学生的数学解题能力来说，极为有益.

三是教师注意引导. 反思固然是学生自己的事情，但是学生毕竟是学生，他们的思维能力有时还不是很强，这个时候就需要教师去引导. 反思过程中的引导只要做到不越俎代疱，就能够保证学生自主性的发挥，就能够提升学生的反思品质. 反思品质说白了就是学生的反思能力，只不过这种能力的提升与时间之比必须能够跟得上数学教学的节奏，如是，则认为反思品质为佳.

初中数学是培养思维的学科，反思品质是衡量学生数学思维的重要维度，在解题之后培养学生的思维品质，可谓是抓住了数学教学的要害，值得坚持.