重视过程 感悟思想 提升能力——《数学思考》教学

蔡立东

【教学内容】

人教版六年级下册第100页例1。

【教学过程】

一、谈话设疑，激趣导入

1.激趣设疑。

师：同学们，我们班有多少人？我们班40个同学，加上老师就是41人，如果我们每人握一次手，需要握多少次？为什么不是41次呢？

师：如果41个人，每两个人握一次手，一共要握几次手呢？

揭题：这节课我们就一起用数学的方式来思考这个问题。（板书：数学思考）

2.体验与思考。

师：为了便于研究，我们用小圆点来代表人，两点间的线段代表握手。有多少线段就代表握手多少次。请同学们拿出1号学习单，试着画一画、数一数。

师：（现场采访）你连线的时候有什么感受？有什么困难吗？

师：数量多很难数清楚，对于这种复杂的问题，该怎么开始研究呢？41个点太多，那我们就“化繁为简”（板书：化繁为简），从简单的开始入手，你们认为最少可以从几个点开始研究？然后逐步增加点数，寻找其中的规律（贴板书：找规律）。

二、逐层探究，发现规律

1.自主探究，感知规律。

师：为了更好地研究，先来读一读同桌2人合作要求：先连线，再把相应的数据填在表格中，最后把你们发现的规律在四人小组内交流。请拿出2号学习单，开始研究吧！（黑板贴“点数”“线段条数”“2 个点～5 个点”）

师：同学们，你们完成了吗？先请一组同学来汇报，随着点数的增加，线段条数分别是多少？那你们找到规律了吗？

小结：看来同学们对点数和线段条数有了初步的感知，为什么点数是一个一个增加，线段条数却2条3条4条递增加呢？下面，我们继续来深入思考与研究。

2.再次探究，理解规律。

（1）探寻新增条数的内在规律：新增加的点要与之前的点分别相连。

师：同学们，我们知道2个点只能连1条线段，（板书：1条）。3个点时能连3条线段，3个点比2个点时增加了2条，你们能用红色水彩笔画出增加的2条线段吗？（学生用水彩笔描出增加的2条线段，并展示学生作业）为什么是这两条呢？

师：再增加一个点，变成4个点时，增加了哪几条线段？增加到5个点时，又增加了哪几条？请你们用水彩笔把增加的线段画出来！（学生用水彩笔描出增加线段，并展示学生作业）

师：同学们，再次连线段后，你们有新的发现吗？

生：新增加的点要与之前的点分别相连。

小结：为了让大家能更直观地认识，我们一起来看电脑演示。按照你们的发现，你觉得再增加一个点变成6个点会新增几条线段？为什么？

（2）归纳线段条数的计算规律。

师：3个点能连多少条线段，用算式怎么表示？（板书：1+2=3条）

师：现在，4个点和5个点时，分别能连多少条线段，你能用算式表示吗？

生：4 个点，3+3=6。

师：这两个3分别是什么意思？也就是在1+2的基础上又增加了3条。(板书：1+2+3=6条)5个点时能连几条线段？怎么列式？

生：1+2+3+4=10（条）。

（板书：1+2+3+4=10条）

师：你是怎么想的？也就是在1+2+3的基础上又增加了4条。

师：如果是6个点，不连线，你知道一共可以连成多少条线段吗？你是怎么得出的，为什么？（板书：1+2+3+4+5=15）

师：8个点呢？你能写出算式吗？把算式写在1号学习单的背面。你们是怎么列出这个算式的？请大家观察点数和线段条数的算式，你有什么发现？为什么要加到7为止？

师：怎样计算线段条数，谁能用自己的语言归纳一下？（板贴：归纳）只要知道点数是几，就可以从1开始，一直加到比点数少1的那个数为止，所得的和就是线段总数。

师：现在你们能解决41个点的问题了吗？谁来说说，该怎么列式？

生：1+2+3+……+40=820

师：为了书写方便，我们写出前面的2～3个数后，中间的数我们可以用省略号来代替。怎么计算更方便？

师：同学们，其实这就解决了课一开始41个人握手的问题。这两个问题，本质上是一样的。来看看刚才有没有同学答对呢？

师：如果点数继续增加，你还能很快地说出算式吗？100个点？n个点呢？

生：1+2+3+……+（n-1）。（板书）

3.归纳小结，提炼方法。

师：请大家回顾一下，在刚开始我们觉得“41个点连成多少条线段”这个问题点数太多很难，现在多少个点都难不住大家了，这是为什么呀？

师：我们是怎么找到规律的？（先从2个点开始研究，在研究的过程中发现规律，利用规律进行计算）

师：我们刚才在解决这个问题的过程中，用到了一个非常重要的思想方法，那就是“化繁为简”。从2个点的简单例子开始，通过观察，分析，找出内在的规律，然后归纳出一个结论，最后解决问题，这是一种推理的思想方法，（板书：推理）是研究问题的重要方法。

三、思考与应用

师：希望同学们在感受与理解这些数学思想方法后，能借助它们更好地解决问题。

1.桌椅问题。

阳光小区近期将举行百家宴，社区主任将摆桌的任务交给我们同学。1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，按这样的摆法，10张桌子拼在一起，一共要搬多少把椅子？

师：你是怎么算的，说说你是怎么思考的？还有不同的思考与算法吗？（6+4×9=42、4×10+2=42、6×10-2×9=42 或5×2+8×4=42）

师：如果是25张桌子呢？（4×25+2=102,6+4×24=102或6×25-24×2=102）

师：如果是n张桌子呢？［4n+2，6+4（n-1）或 6n-2（n-1）］通过计算，我们可以发现，这3个算式是相等的，都可以用4n+2来表示。

师：刚才我们把两张桌子的短边拼在一起，有时候也可以把长边拼在一起。那么，这时10张桌子要摆多少把椅子呢？

2.摆一摆、找规律。

师：这些图形都是由小棒摆出来的，如果接着摆下去，想一想，第6个会是什么图形？你是怎么知道的？

师：你知道第7个是什么图形，第7个图形需要用多少根小棒？请你在1号学习单里算一算。

师：那么摆第n个图形需要用多少根小棒？2（n-1）+3=2n+1 或者 3n-（n-1）=2n+1

教师小结：同学们，要解决10张桌子需要几把椅子，第7个图形需要用几根小棒，我们都是从第1张桌子和第一个图形开始，由简单入手逐步思考与发现，最终解决复杂的数学问题。看来在数学与生活中，“化繁为简”是推理的重要思想与方法。

3.观察下面图形，正方形个数与直角三角形的个数有什么关系？先将表格填写完整，再回答问题。

_正方形个数　2　3　4　5　……直角三角形个数　4　8　12　…… 100

（1）若有x个正方形，则直角三角形的个数为（ ）。

（2）若有y个直角三角形，则正方形的个数为（ ）。

师：5个正方形，有多少个直角三角形？你是怎么想的？

四、课堂总结

师：同学们，今天这节“数学思考”课上完了，回顾一下，你有什么收获？