改编例题 精彩不断

杨昌义



改编例题精彩不断

杨昌义

湘教版数学教材七年级下册中安排了这样一道例题：如图1，AB椅DC，蚁BAD= 蚁BCD，那么AD椅BC吗？学生由于刚刚才学平行线的性质和判定定理，对公理化证明方式还只是初步接触。可能为了减少难度，教材事先已连好了对角线AC，把思维直接固定在用“内错角相等，两直线平行”这一条思路上，但这样不利于学生发散思维的培养。为此，笔者上课时去掉了对角线AC，让学生自由发挥。下面再现课堂情景。

上课伊始，教师出示题目：如图2，AB椅DC，蚁BAD=蚁BCD，那么AD椅BC吗？随即引导学生思考——

师：同学们，我们已学了3种平行线的判定方法，分别是哪3种？

生：方法1，同位角相等，两直线平行；方法2，内错角相等，两直线平行；方法3，同旁内角互补，两直线平行。

师：答得非常好！那么，你们怎么应用这些方法判定题目中的AD椅BC呢？

生：图中没有同位角，也没有内错角，显然，方法1、2都不能用，看来只有用方法3了。

图1

图2

师：分析得有道理。但用方法3，必须找到相对应的同旁内角。与AD椅BC相对应的同旁内角有哪些？

生1：与AD椅BC相对应的同旁内角是蚁ABC与蚁BAD，因为它们是直线AD、BC被直线AB所截出来的。

生2：还有蚁BCD和蚁ADC，但只要推出一对角相等就行了。

师：不错！结合已知条件，能推出吗？

生3：由AB椅CD可得蚁ABC+蚁BCD=180毅，两直线平行，同旁内角互补。

师：这两个角互补又有什么用？

生4：有用！因为已知蚁BAD=蚁BCD，由等量代换得蚁ABC+蚁BAD=180毅，于是，由方法3可得AD椅BC，很简单！

师：数学就是很奇妙，你如果知道结论了，就会觉得很简单。而开始不知道的时候，却吸引你去苦苦探究。一旦突破了，心里会有一种特别的舒畅和愉快感，让人回味无穷，这就是数学的魅力！

生5：几何比代数有趣多了！

师：其实数学都有趣，无论是代数还是几何，只要我们进了它的门槛，就是迈进了瑰丽的“万花筒”，里面精彩不断，奥妙无穷！比如，对于上面这题，只要发挥我们的聪明智慧，还是可以应用方法1、2解答的！

生6：不是没有内错角、同位角吗？

师：我们可以想办法构造出来。可以连结BD，内错角是不是就有了？

生6：可以这么做吗？

师：完全可以！为了做题的需要，有时需要作一些线，这种补作的线叫做“辅助线”，一般用虚线画，它能辅助我们完成做题任务。例如，作出辅助线BD（如图3），我们马上得到了内错角，同学们能找出几对？生（齐）：两对：蚁ADB和蚁CBD，蚁ABD和蚁CDB。师：与将要证明的AD椅BC有关的是哪一对？为什么？

生7：蚁ADB和蚁CBD。因为它们是直线AD、BC被直线DB所截出来的。

师：回答得非常正确！只要它们相等，由方法2就可以立即得到AD椅BC。那么我们怎么通过条件得到蚁ADB=蚁CBD呢？

生8：由已知AB椅CD，得到蚁ABD=蚁CDB。已知蚁ABC=蚁ADC，由等式的性质得蚁ABC原蚁ABD= 蚁ADC原蚁CDB，于是可得蚁CBD=蚁ADB。

师：你简直太有才了！

生8：这归功于辅助线，非常有用！但我不知道什么时候要作辅助线，也不知怎么作。

师：当题目条件不够时，可以考虑作辅助线，一般有规律可循。有时一道题作的辅助线并不是固定一种，只要对做题有用，都是可以灵活作出的。

生9：那么此题我不连结BD，连结AC（如图4）行吗？

师：你们想想看，行吗？

生10：当然行，只要能得出蚁DAC=蚁ACB。

师：有道理！已知蚁ABC=蚁ADC，那么蚁BAC= 蚁ACD吗？

生11：相等！因为已知AB椅CD，两直线平行，内错角相等。

师：在吟ABC和吟ADC中，已有两对内角相等了，第三对角难道不等吗？

生12：相等！三角形内角和是180毅，小学已学了。

师：现在问题不是也解决了？

生13：辅助线真妙啊！

图3

图4

师：更妙的还在后面呢！如果我们再仔细思考，这道题还能用方法1解答呢！生14：还能用方法1？同位角没有，怎么做呢？师：为什么不请辅助线帮忙呢？比如，延长BC……

生14：也可以这么作吗？

师：可以！只要对我们有用，怎么作都行！大家想想，延长BC 至E（如图5），有用吗？

生15：有用！只要我们能够证明蚁ADC=蚁DCE即可。

师：请大家探究：蚁ADC=蚁DCE吗？

生16：已知蚁ADC=蚁ABC，只要得出蚁ABC= 蚁DCE，用等量代换即可。

生17：蚁ABC=蚁DCE，这是明摆着的，因为已知AB椅CD，同位角相等的呀！

师：不是又成功了吗？生18：真是妙不可言！师：大家再想想，我们是否还能在不同位置、不同方向作辅助线呢？

生：老师，我们作出来了，不知行不行，请您检查下（如图6所示）。

图5

图6

师：太棒了！真是精彩纷呈，美不胜收啊！告诉大家，这些作法都行！像刚才探究的一样，能不能化成用方法1解答？课后同学们可以试试。

教学后记：一题多解对于训练学生的发散思维，培养学生的创新意识十分有益。在本案例中，教师首先让学生明确判定两直线平行的基本方法，然后围绕问题的结论，引导、启发学生如何选择方法，师生共同历经了探究的全过程。师生不断地互提问题，并通过提问使探究活动步步推进、环环相扣。尤其是教师不失时机地介绍了添作辅助线的方法，让学生感受到辅助线在说理中的巧妙作用，激发了学生的兴趣和潜在的创新精神。这样教学，不仅让学生顺利地解答出问题，还渗透了化归思想和“执果索因”的说理方法，也培养了学生的发散思维和演绎推理能力。

（作者单位：永州市零陵区永州柳子中学）

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