论数学危机与思想解放

张克新

(黄冈职业技术学院 人事处，湖北 黄冈 438002)

论数学危机与思想解放

张克新

(黄冈职业技术学院 人事处，湖北 黄冈 438002)

数学是一门经典的科学，也是一门常新的科学。数学的每一次重大进步，都是人类历史上的一次大的思想解放和创新的过程。纵观数学的发展史，史学家有把它概括为三次数学危机，也有概括为四次数学危机。从推动科学的发展作用上看，更倾向于概括为四次数学危机。探讨四次数学危机，可以发现其与人类思想解放和创新的关系。

数学危机；思想解放；创新发展

以习近平同志为总书记的新一届党中央明确提出实施创新驱动发展战略，并将其提升为关系到国民经济全局紧迫而重大战略任务的高度。李克强总理在去年的《政府工作报告》中也将“大众创业、万众创新”提升到国家经济发展新引擎的战略高度。高校作为人才培养的摇篮，理应在推进理论创新、制度创新、科技创新、文化创新等各方面的创新具有不可推卸的责任，理应为建设创新型国家做出应有的贡献。本文期望通过对数学发展史上的四次危机及其解决方法的回顾，给当今创新以启迪和借鉴。

一、第一次数学危机：有理数与无理数的争论，即回答 是什么数的问题[1]

大约在公元前580～568年之间的古希腊，以数学家毕达哥拉斯为首建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集科学、哲学和宗教于一体，该学派在当时数学届具有极高的权威性。该学派人员相对稳定,所有发明创造对外保密,所有成果都归功于学派领袖。那时人们对数的认识非常有限，即使是对有理数的认识也还很有限,对无理数的认识更是一无所知。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们所说的数，主要是指整数，他们不认为可分数是数，而仅仅把分数看作是两个整数之比，宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数之比。该学派成员希伯索斯根据勾股定理通过逻辑推理发现,边长为1的正方形的对角线长度既不能用整数表示,也不能用整数之比表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事，是不能被大家接受的。希伯索斯的发现不仅严重地挑战了毕达哥拉斯学派的权威,也冲击了希腊人的传统认识和见解。这使当时的希腊数学家们深感不安，这就是第一次数学危机。

这场危机通过在几何学中引进不可通约量的概念而得到解决。对于两个几何线段,如果存在一个第三线段能同时量尽它们,我们就称这两个线段是可通约的,否则称为不可通约的。而正方形的一边与对角线,不存在能同时量尽它们的第三线段,因此我们认为它们是不可通约的。这样,只要承认不可通约量的存在，几何量就不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。第一次数学危机的产生直接的贡献是无理数地产生，间接的贡献是解放了人们的思想，打破了传统的各种桎梏，极大地推动了数学科学和其他相关科学的蓬勃发展。尔后实数体系很快就建立起来了，基于这种思想,在对负数开方时，我们引入了虚单位i(虚数的产生导致复变函数、实变函数等学科的产生,并在现代工程技术上得到了广泛的应用)等新概念，从而新知识层出不穷地涌现。第一次数学危机的解决不正是人类思想解放和创新发展的过程吗！

二、第二次数学危机：微积分中无穷小量的争论,即无穷小量到底是零还是非零[2]

大约在公元十七世纪前后,牛顿和莱布尼兹在归纳和总结前人的成果的基础上创立了——微积分。其中创始人牛顿在一些问题经典的推导过程中,有时用无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零；有时牛顿又把无穷小量看作零处理，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，而在力学和几何学的应用证明了这些公式又是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上是自相矛盾的。人们自然要问：无穷小量到底是零还是非零?如果是零的话，怎么能用它做除数呢?如果不是零的话，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?由于当时微积分的理论基础没有得到根本解决，牛顿的这种处理方式无法使大家信服，从而导致数学界出现混乱局面，这就是第二次数学危机。

其实，微积分的萌芽早在中国古代以及古希腊时期就形成了。在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，刘徽著的《九章算术》记载了割圆术，阿基米德的逼近法等实际上就是微积分思想的萌芽。

直到19世纪,法国数学家柯西(1789—1857)详细而又系统地发展了极限理论，通过构建“ε-δ”定义，用严格和清晰的表述与证明方法从根本上完善了微积分理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的一个量,因此本质上它是一个变量,而且是以零为极限的变量，至此柯西彻底澄清了无穷小的概念。另外Weistrass创立了极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，故第二次数学危机基本上解决了。

三、第三次数学危机：非欧几何的产生[3]，即欧几里德几何中第五公理是否可替代

希腊人早在公元前300多年，以欧几里德为代表的数学家就完成了标志性的科学巨著《几何原本》，它的主要几何思想一直影响了人们2000多年，直到今天在某些领域，仍不失其典型意义。

《几何原本》可以说给了人们一个价值尺度，一把尺子。它是基于五个公理通过逻辑推理演绎而成的。人们自然要问，这把尺子准吗？又有谁去度量《几何原本》这把尺子？只要是受过现代教育的人都知道，我们从小学到初中都要学习平面几何，应该说公理一至公理四都是很容易接受的，而对于叙述最为啰嗦的“第五公理：过直线外一点有且只有一条直线与之平行”，人们感觉它不像公理，试图尝试去掉它或由别的来替代它。然而，直到19世纪初，所有用欧几里德的公理去证明第五公理的尝试都失败了，这个问题整整困扰了人们2000多年。

直到19世纪初，当数学家们开始意识到第五公理是不可证明时，那惟一的办法就是要么承认第五公理，要么去掉它，重构一个体系。以德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约等为代表的数学家各自独立地认识到这种证明是不可能的。高斯碍于声誉害怕非议至死都没有公开发表自己的研究成果。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的新理论。在他们构建新的几何学中，替代欧几里德第五平行公理的罗巴切夫斯基平行公理：在罗巴切夫斯基几何里，三角形三内角和小于两直角。德国数学家黎曼在1854年又发现了新的几何学：在黎曼几何学里，三角形三内角和大于二直角。他们的几何学都构成了封闭的没有矛盾的新的几何学。后来人们为了纪念他们的卓越工作将不是欧几里德的几何学统称为非欧几何。

非欧几何的创建打破了2000多年来欧氏几何一统天下的局面，从根本上解放和拓宽了人们对几何学的认识，极大地推动和促进了科学的发展。

四、第四次数学危机：罗素悖论的产生,即理发师到底该不该给自己理发

英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素(1872—1970)在1902年宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。罗素悖论的发现震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾，这无异于晴天霹雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其他一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，它从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，史称第三次数学危机。

罗素先构造了这样的一个集合I：I是由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：I是否属于I呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果I属于I，根据I的定义，I就不属于I；反之，如果I不属于I，同样根据定义，I就属于I。从而不管怎样都是矛盾的。实质上,罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

下面看看罗素悖论的两个具体例子：

1、 “理发师悖论”：理发师定义为给不给自己理发的人理发，那么理发师该不该给自己理发呢?

2、“说谎者悖论”: 一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”那么请问这句话是真话还是假话?从数学逻辑上来讲他们都是矛盾的。

数学家们为解决这场危机，将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，另一位德国的数学家弗芝克尔加以改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即ZF公理系统)，这场数学危机到此才缓和下来。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。

但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题以最迫切需要解决的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学科学。

纵观人类历史上四次数学危机的解决，都是人们解放思想，创新发展的过程，每一次数学危机的解决，都极大地推动了人类的发展和进步。当前，我国经济进入转型与产业结构调整的关键时期。面对新的形势，我们必须深入地推进大众创业、万众创新，着力营造大众创业、万众创新的良好社会环境和文化氛围，争取早日地实现国家富强、民族振兴、人民幸福，实现中华民族的伟大复兴。

[1]顾沛. 数学文化[M].高等教育出版社,2013:110-133.

[2]解恩泽. 科学蒙难集[M].湖南科学技术出版社,1998:22-31.

[3]朱家生. 数学史[M].高等教育出版社,2011:156-164.

[责任编辑：江楚义]

On Mathematics Crisis and Ideological Emancipation

Zhang Kexin

(HuanggangPolytechnicCollege，Huanggang438002Hubei)

Mathematics is a classic science, which also is a new science. Every major advances in mathematics, is a great ideological liberation and innovation process in human history. Throughout the history of mathematics, historians have put it up for three mathematical crises or four mathematical crises. From the role of promoting scientific development, four mathematical crises tended to be summarized. Through discussion on the four mathematical crises, we could find its relationship with humans ideological emancipation and innovation.

Mathematical crisis; Ideological emancipation; Innovative development

2016-11-10

张克新，男，湖北红安人，教授，处长。研究方向：应用数学研究及教育管理。

G40-052

A

1672-1047(2016)06-0120-03

10.3969/j.issn.1672-1047.2016.06.34