偶函数的一组性质及其应用



偶函数的一组性质及其应用

蓝云波

(广东省兴宁市第一中学,514500)

本文主要论述偶函数的一组优美性质,并以近几年的高考题与竞赛题为例,谈谈它们在解题中的应用.

性质1若函数f(x)是偶函数,则必有f(x)=f(|x|),反之亦然.

证明若函数f(x)是偶函数,则当x≥0时,f(x)=f(|x|)显然成立；当x<0时,f(|x|)=f(-x)=f(x).故对定义域内的任意x恒有f(x)=f(|x|)成立.

若f(x)=f(|x|)成立,则当x≥0时,f(-x)=f(|-x|)=f(x)；

当x<0时,f(x)=f(|x|)=f(-x),故对任意定义域内的任意x恒有f(-x)=f(x)成立.所以函数f(x)是偶函数.

综上所述,命题得证.

例1(2014年全国高考题)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是______.

分析若从偶函数的定义出发,则需对x-1≥0与x<0进行分类讨论,还要结合偶函数的在对称区间的单调性相反这一性质,比较麻烦.若运用性质1,通过等价转化为f(|x-1|)>f(2)这一不等式的求解,则能避免分类讨论,从而快捷得出结果.

解因为f(x)是偶函数,且f(2)=0,所以不等式f(x-1)>0等价于f(|x-1|)>f(2)；又因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,所以-2

f(log2a)≤f(1).

∵f(x)=f(|x|),∴f(|log2a|)≤f(1).

∵f(x)在区间[0,+∞)单调递增,

∴|log2a|≤1,

分析本题中的函数的奇偶性及单调性没有直接给出,需要判定.

性质2若偶函数f(x)在x=0处有意义且可导,则f′(0)=0.

例4(2014年湖南高考题)若函数f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=______.

分析本题若从偶函数的定义出发,得出对定义域内的任一x恒有f(-x)=f(x)成立,则运算量大,且如何变形具有一定的技巧.但若运用性质2,则能杀敌于无形之间!

分析本题是例4的变式,不同之处在于无需求出最后的导函数.这说明,注意到解题中的细微之处常能使解题更有效率.

性质3若f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的偶函数,则f(x)在区间[-a,a]上的值域(最值)与f(x)在区间[-a,0]上的(或[0,a])上的值域(最值)相同.

证明设当x∈[0,a]时,f(x)的值域为M,则当x∈[-a,0]时,-x∈[0,a],所以f(-x)∈M；又因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)∈M.所以x∈[-a,0]时,f(x)的值域也为M，所以x∈[-a,a],f(x)的值域也为M，故命题得证.

分析初看函数的表达式有点吓唬人，冷静观察与思考之后,可发现函数是偶函数,运用性质3,能使研究的自变量的范围缩小,从而达到优化解题的效果.同时注意到组成函数的两部分因式均为单调递减函数,且恒为非负,从而确定函数的单调性,使问题化难为简.

解函数f(x)的定义域为[-1,1],且f(x)为偶函数.故只需求函数f(x)在[0,1]上的值域.

分析本题与例6同类,不同之处在于运用性质3缩小自变量的研究范围之后,使用了三角换元.三角恒等变形是解决函数值域问题的利器,应引起足够的重视.

解显然f(x)的定义域为[-2,2]的偶函数,所以问题可转化为求函数f(x)在[0,2]上的值域.

=4cosθ+2sinθ.

分析本题难度较大,除了涉及函数的奇偶性之外,还涉及函数的周期性.在运用性质3后,转化为一个比较复杂的函数的最值问题.代数变形能力与三角换元技巧是解决此题的关键.

令t=sinx+cosx,则

t2=1+2sinxcosx,

由上分析可知,当我们遇到棘手的问题时,要根据题意对解题方法进行取舍.这就要求我们在平时的教学与解题中,要注意基本技能的训练和积累.要善于总结,并形成较为完善的思想方法体系,从而能从更高更远的地方重新审视问题.在高考命题“由知识立意向能力立意过渡”指导思想下,达到举一反三,优化解题效率的效果.

最后,笔者提供几道经典的相关习题留给读者思考.读者可运用上述方法进行解答,相信会对偶函数的这组性质有更深入的理解和体会,并能在解题中灵活运用.

变式训练

2.(2010年江苏高考题)设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为()

(A)-1(B)-2(C)-3(D)-4

(答案:1.A； 2.A； 3.[4,5])

○学习指导○