反例在数学中的作用与构造

李丽霞

（吉林省大安市太山镇第二中学 吉林大安 131300）



反例在数学中的作用与构造

李丽霞

（吉林省大安市太山镇第二中学 吉林大安 131300）

摘 要：本文通过反例在数学中的作用与构造，通过命题正、反两面想比较，从而更加正确的理解概念、命题以及相互关系来说明反例的作用及意义，并且讲述了反例在数学的教学中的作用，利用反例，加强对基本概念、定理和规则的理解；利用反例，否定命题的正确性；利用反例，加深学生对命题内涵和外延的理解程度；善于利用反例，能帮助学生通过比较，建立鲜明的表象；反例能帮助学生否定谬论，纠正错误；善于利用反例能帮助学生进行研究性的学习；如何将构造反例这一方法广泛应用，从而将反证法得到推广。

关键词：数学教学 反例 构造 研究 日常生活

在数学的研究中，构造反例去解决问题是非常重要的，它在数学研究及数学教学中有着重要的地位和作用，如果能在教学的过程中充分的去发挥反例的作用，那么对于提高教学的质量，对于培养学生的数学能力和提高学生的数学素养，都是非常有好处的。［1］

一、反例在数学中的作用与构造

1．反例在数学中的基本内容

（1）反例的含义

所谓的反例，通常来说就是用来说明一个命题不成立的例子，也就是符合命题的条件但是与命题的结论想矛盾的例子。

（2）反例在数学中的作用

数学的发展，其实就是一个不断的提出问题，然后在解决问题的过程，通过不断的提出和解决，得出一些新的理论，新的定理。而想要解决这些问题，主要还是由给出命题的证明或者构造反例来完成的。欧氏几何的成立便离不开它的帮助了。

自从欧氏几何成立以后，很多人都试图证明平行公理，但都失败了。而高斯、黎曼等杰出的数学家采用了锐角与钝角的假设，彻底的推翻了“平行公理是可以证明的”这一猜想，使得将近两千年的一大数学难题得到了解决，对几何学乃至整个数学领域的发展作出了伟大的贡献。像这样的贡献还有许多，如微积分理论中的“每一连续函数除了在去件内某些孤立点外都具有导数”等命题 ，都是通过构造反例才得以解决。

二、反例在数学教学中的作用

1．反例在教学中的应用

反例不仅能够证明命题的真实性，在教学中也有着不可代替的位置。反例在教学中有很多作用，如评判学生对问题的回答，批改学生作业，都需要指出他的错误，而指出错误最有说服力的也就是举出反例。［2］

（1）利用反例，加强对基本概念、定理和规则的理解

数学概念是空间形式的数量关系以及他们的本质属性在人的脑海中的反映，也是数学知识的重要组成部分。对于数学概念的教学，我们不仅仅要运用正面的实例去引导学生形成概念，还要善于借助反例加深学生对概念本身的理解和再思考、再认识。在数学当中，有许多的概念定理和规则，想要接受这些抽象的东西，有时会很困难，很多的学生只会死记硬背那些定义，却不知道那些概念的真正意思，这时，我们利用举出反例，让他们从侧面去抓住概念的本质，往往效果非凡，还可一提高学生对知识的理解程度，从而去辨析。

（2）利用反例，否定命题的正确性

一个数学命题的成立，是经过了反反复复的证明，需要经过非常严格的逻辑证明，而否定一个命题，我们只需要判断出它在某种情况下不成立即可，这是一种非常惯用的数学方法和证明手段，也是学生必须要认真去掌握的。

（3）利用反例，加深学生对命题内涵和外延的理解程度

许多定理、性质、公式、法则都有它成立的条件和适用的范围。教学中如果不注意分析，不提供挑战性素材，学生很容易便抛开条件，超越范围，从而酿成错误。关于一些定理，许多教材书上一般都是先介绍定理，再给出证明，最后举出满足定理条件的正面例子。但这些方法会让学生只理解到片面的定理，不能够深入的去理解定理，这时我们便可以说出一些反例来更一步的说明这些定理的本质。

（4）善于利用反例，能帮助学生通过比较，建立鲜明的表象

在数学的教程过程中，如果只是单纯的从正面给学生讲解概念，学生可能会感觉到模糊，不能理解。为了能够加深学生对所学的知识的理解，可以将抽象的东西，借助实物或者列举反例，通过比较直观的角度，提高他们的判断能力，并且通过举反例，也能十分简洁的识别出错误，从而提高学习的效率。构造反例，可以让学生加强思维训练，慢慢培养出实事求是的优良学风。而且，常常能产生正确的解题技巧。

（5）反例能帮助学生否定谬论，纠正错误

学生在学习的过程中，经常会碰到一些通过类比推广，或者凭主观的想象得出的错误结论，并去应用它们，对于此类错误，如果能够运用反例加以否定，更容易让学生接受，并信服，也能够加强学生对此类命题的印象。要说明一个结论的成立，需要很多的证明和正弥漫的论述，而想要推翻一个结论，只需要举出一个反例，便可以得出答案。

（6）善于利用反例能帮助学生进行研究性的学习

学生认知的最大的特点就是直觉思维，它多以猜测为主。但是数学是非常严谨的学科，猜测到的偶然性是不可以代表验证的必然性的。所以，教师需要引导学生进行科学的例证和推理。反例往往是推翻错误的命题最有效手段，从而进行研究性的学习。

（7）一些注意事项

在运用反例证明一些论题的时候，需要认真细致地去审题，如果发现和结论互相矛盾的方面有不止一种情况的时候，必须一一的去否定，不可以有任何的遗漏。还有在数学证明中，用到反例法证明命题的时候，并非从一开始就全部需要用到反证法，有时反证法只出现在一部分当中。

2．如何将构造反例这一方法广泛应用

许多学生在初次接触反证法时，认为它无课本可寻，会产生一种排斥的心理，加上刚开始学习反证法，例题也不多，需要用到的地方可能也很少，所以会忽略，不够重视。然而，反证法却是一种非常重要的证明方法，也是非常普遍的思维方式，比如筷子是直的，可是我们将它放入水中在看，我们会发现它变弯曲了，虽然是因为物理现象中的光在水中的折射导致的，但是它却并不是真实的。通过这个例子，我们应该知道无论是从数学能力上的培养来说，还是从社会公民所必要的文化素质来看，学习反证法都是非常重要的。

三、总结

反例在数学研究及数学教学中有其重要的地位和作用，若能在教学中充分发挥反例的作用，对于提高教学质量，对于培养学生的数学能力和提高学生的数学素养，都是非常有帮助的。构造反例也需要发挥想象力和创造性。鼓励学生着眼于发现和创新，自己提出问题，自己解决问题，这样就能使构造和运用反例得到用武之地。不仅学习会深入得多，而且也能逐渐的培养学生开展数学研究的能力。

参考文献：

［1］龚升.简明微积分.人民教育出版社.1979

［2］张筑生.数学分析新讲.北京大学出版社.1989