“数与形”例2的解读与思考

□ 徐英飞 李新根

“数与形”例2的解读与思考

□ 徐英飞 李新根

对于人教版六年级上册数学广角“数与形”例2，教材编者认为学生能发现加数的规律，也能发现“和的分子总是比分母小1”的结论，并推理出“随着加数越来越多，和越来越接近于1”，而且通过画图，也能得出总和等于1。但事实上，学生很少认可总和等于1，究其原因是因为他们把无限加数当作有限个数来思考了，画图也一样，而这一点，正是教学的真正突破口。

数与形 有限 无限 极限

“数与形”是人教版六年级上册数学广角中（第107页）的内容。由于是新增内容，所以一线教师对它的研究比较少，其中例2是这样的：计算。

一、教材解读

（一）教材的编写意图

根据书本第107页上的编写意图，是要让学生通过观察与计算，发现加数的规律与和的规律（即后一个加数是前一个加数的，和的分子总是比分母小1，随着加数越来越多，和就越来越接近于1），从而感受到什么叫“无限接近”。对于结果，教材编者认为无法一一穷举，但可以通过观察到的规律进行“无穷无尽”的类推，让学生在这一过程中体会推理和极限思想。

教材第108页上的小精灵说：“可以画个图来帮助思考，用一个圆或一条线段表示‘1’。”另一位男生说：“从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1。”从这页的编写意图看，就是要通过数形结合的方式，让学生知道最终的结果是1。即在圆形上分别有规律地表示出这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形就会把整个圆占满（线段也是同样道理），这时，这些数相加之和就为1了。

（二）《教师教学用书》中的说明

教师教学用书中说道：可利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念；让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”；利用观察到的规律进行“无穷无尽”的类推，使学生在这一过程中体会推理和极限思想；“无限”的概念非常抽象，学生不易理解，例如，学生会说最终的结果接近于1，但永远不可能为1。事实上，对于任一有限和，都可以通过再加一项来得到更小的和，这就是“极限”的核心思想。这里有几个关键词：无限、无限接近、极限。

二、教学困惑

对于例2，笔者曾进行过教学尝试，先出示例2让学生进行观察，然后再计算，一切正如书本第107页所料，学生不仅观察出了加数的规律，还发现“和的分子总是比分母小1”，并推理出“随着加数越来越多，和越来越接近于1”，这着实让他们体验了一回什么是“无限接近”。

但当问起“和可不可能等于1”时，没有一个人认可，因为他们觉得无论怎么加下去，和的分子总是比分母小1。于是让学生根据分数的意义画一画图，教师再配以课件演示，结果还是不行。因为他们始终认为不论怎么画，整个图形还是缺一块，所以永远到不了1。至此，教学陷入了僵局，所有的推理、画图都显得苍白无力。

三、重新认识

为了解决教学中的困惑，笔者查阅了相关资料，特别是在王永春老师所著的《小学数学与数学思想方法》一书中找到了答案。

（一）对极限思想的认识

书中关于“极限思想”，有这样几段文字：①极限思想是用无限逼近的方式来研究数量变化趋势的思想，这里要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，两者缺一不可。如自然数列是无限的，但是它趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限。②当我们面对无限的问题时，就不要再用有限的观点来思考，要进入无限的状态。比如0.999…=1，有的教师认为：无限循环小数的位数是无限的，和永远达不到1，永远小于1。这是一种片面的观念，是因为用有限的观点来看待无限造成的，这样的问题在数学上应该用极限的方法来解决。③极限方法只关注一个无限的变化过程的确定趋势是什么，只要趋势确定并且符合极限的定义，那么这个无限变化的过程的结果就用极限来表示，它就是一个解决问题的方法而已，只要符合极限的规则和逻辑，就可以用极限来表示无限变化的过程的结果，它并不关心这个无限变化的过程何时能到达极限，它在本质上不同于有限个数的和。

也就是说，如果某个变化的量“无限逼近”于一个确定的数值，那么这个定值就叫作变量的极限。教材编写意图就是为了让学生获得这样的感悟：随着加数越来越多，和就越来越接近于确定数1，当加数个数无限多时，和就是1。

（二）对学生困惑的认识

其实想了1万个就才1万个，想了1亿个就才1亿个。但例题中的加数个数是无限的，无论到什么时候都不能断开，所以“整个数列的和”必然是另外一种状况。

画图也一样，是不能停的，一旦停了，就会有空缺，而现在是无限地画下去，所以肯定看不到空缺。

四、新的思考

分析了学生的困惑之后，笔者对这个内容的教学有了新认识。前面的环节，可以像教材编写的那样，让学生经历一个观察、计算、画图的过程。接下来，必须让学生清楚“无限个加数相加，和可能是无穷大，也可能是逼近于某个确定的常数”。比如1+2+3+4+…的和就是无穷大，而的和就是逼近于1。接下来让学生思考：当这个和无限地逼近这个常数时，会不会就等于这个常数呢？此时可借助于“刘徽的割圆术”和“求圆面积的方法”，书本第68页上有这样的描述：“刘徽从圆内接六边形开始，将边数逐次加倍，得到的圆内接正多边形就逐步逼近圆，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这是什么意思呢？就是说当正六边形的边数无限倍增的时候，它就会无限地逼近圆，最后就变成了圆。另外，从圆面积的探究过程中也可以发现，当把圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形，当分的份数越多，拼出的图形就越接近长方形，最后就变成了长方形。这些知识的回顾都有利于学生对极限的认识，从而认可例2的结果等于1。

再接着，通过动画演示来让学生明白例2等于1的原因，（如下页图）把整条线段看作“1”，然后用，…分割下去，这样就有无数条小线段。然后再反过来，把这无数条小线段重新拼接起来，结果就是原来的“1”。

最后再来讨论“先前认为和不可能等于1的原因”，那是因为我们都把它当作有限个数来思考了。比如，画图时，总觉得画不满，那是因为我们不画下去了，如果画个不停，就看不到空缺。

如果还有时间，可再作些补充，比如0.999…的小数点后面有无限多个9，那么它等不等于1呢？因为 0.333…×3＝0.999…，，所以0.999…=1；还可以假设1除以1不够除，那么只能商0，于是就有了右边的算式。

总之，这个内容的教学，既要顺着学生的思维，又要让他们有新的突破。通过经验回顾（割圆术、求圆面积方法）和数形结合，可以让学生明白例2等于1的原因，还可以感悟极限思想，有了这种思想，不仅可以降低解决问题的难度、优化解题过程，还能对初、高中的数学学习有帮助。所以学好这节课，意义深远。

[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014（7）.

（浙江省桐乡市崇德小学 314511浙江省桐乡市教育局教研室 314500）