“两点之间线段最短”的应用

傅兴亮

在欧氏平面几何体系中，几何公理：“两点之间线段最短”的应用非常广泛。从该公理出发，能证明出耳熟能详的、应用十分广泛的三角形三边边长关系定理“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之和小于第三边”，同时该公理在几何求极值或者最大、最小值也有着举足轻重的地位。本文意在对该公理在初中数学中的应用和地位进行阐述和探讨。

一、从数学角度认识该公理

公理“两点之间线段最短”在数学中是不用证明的，因为这是人们从大量的实践中总结出来的“正确”的经验，而且本公理看上去十分“完美、正确”，但是公理本身是不太好证明的。

二、从物理学角度认识该公理

物理学中费马原理（Fermats principle）：最小光程原理。光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。根据费马原理：光在同一种物质中沿直线传播，而光在同一种物质中的传播速度是定值，而这样传播所花的时间最小，这就解释了为什么两点之间线段是最短的。

三、该公理可以加强平面几何知识的严谨性

在初中平面几何教学中，考虑到学生的接受能力，往往把平面几何学中的定理当作公理，从而跳过定理的证明过程，而让学生直接接受一些事实，这就导致了数学知识体系的逻辑性和严谨性遭到严重破坏，同时也失去了训练学生逻辑思维的题材。教师在教学中，也乐于这样去做，好像这样做，学生和老师都“轻松、愉快”了。最典型的例子是：“垂线段最短”这个命题。很多老师会把这个命题当公理，学生也乐于接受。这样的做法，其实是缺乏思考，丧失了训练学生思维的好机会。其实这个命题的证明是十分容易的，证明如下：

已知：点P是直线AB外一点，PM⊥AB，垂直为M，点N在直线AB上，连接PN。

求证：PM≤PN

证明：延长PM到C，连接NC，利用对称性或者全等三角形知识，容易证明出：PN=CN，由于PC是直线段，而PNC是折线段或者直线段，由公理“两点之间线段最短”，就得出：PC≤PN+CN，即2PM≤2PN，所以：PM≤PN。原命题获证。有趣的是：这个命题的证明过程中，也顺带证明了命題“直角三角形中斜边最长”。

四、该公理在欧氏几何中求极值的应用

（一）平面几何中的应用举例（解法略）

1.已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示）（物理学角度：“光沿直线传播”）

2.已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示） （物理学角度：“光的反射”或者“平面镜成像”）

3.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。（如图所示） （物理学角度：“光的反射”或者“双平面镜成像”）

4.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m/n的值。（物理学角度：“光的反射”或者“双平面镜成像”）

（二）该公理在立体几何求极值的应用举例（解法略）

1.已知：如图，一圆锥底PAB底面半径为2，母线长PB为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥的侧面爬行到D点，则蚂蚁爬的最短路程为多少？

2.已知：如图，圆柱ADBC的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后1位）？

（三）利用该公理“构造图形”求某些特定形式代数式的极值（解法略）

1.已知，实数m、n，且m+n=2，求代数式：的最小值。

2.已知，实数x，求代数式：的最小值。

综上所述，公理“两点之间线段最短”不但应用广泛，同时也体现了数学知识和物理知识之间的联系，在教学中如果善用该公理，不但训练了学生的思维，让学生体会到数学公理化体系，而且也会加强不同学科知识之间的融会贯通，让学生从更深层次理解知识和掌握知识，为学生将来的学习或者研究打下坚实的基础，所以，这是一件非常有意义的事情。

参考文献：

陈天辉.初升高入学试题.1版.海南出版社，2012-07.

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