费马数的教学设计

马元魁　张天平

摘要：本文给出针对费马数的一种教学设计，以应用实例引入，通过对费马数的研究历程来进行讲解，重点让学生理解费马数的性质及应用。整堂课按照引入—知识回顾—概念的表述—应用—小结的模式进行设计，全程既具有趣味性又具有启发性。

关键词：费马数；尺规作图；教学设计

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）04-0214-02

一、引言

近几十年来，数论在代数编码、密码学、信号的数字处理、计算机科学、组合数学等领域内得到广泛的应用，尤其值得一提的是许多较深刻的结果都得到了应用，并收到了意想不到的良好效果。注意到这些情形，教师在讲授初等数论课程时，除了包含通常初等数论教科书所共同具有的最基本的内容外，应该适当拓展新的内容，以适应不断发展的理论和应用方面的需要。在讲解那些熟知的经典结果的同时，也要注意介绍新的证明方法和近代的进展，并尽可能地提到它们的应用，从而有效地激发学生的学习热情，这就是我们设计这堂课的主要意图。费马数是初等数论在介绍素数性质时所给出的一个重要例子，本文以费马数为例进行教学设计。

二、趣味引入

大家都知道，核导弹爆炸的威力无疑是惊人的，因而核导弹的安全问题就显得至关重要了。各个国家的核导弹都由安全性能极高的密码系统所控制，而数论已成为控制成千上万颗核导弹密码系统的理论基础。实践证明，最好的密码之一是利用大素数制造的，极难破译。那么，什么是素数呢？如何快捷有效地产生一些大素数以用于密码设计呢？就让我们首先做一下知识回顾。

三、知识回顾

1.素数及合数的定义[1]：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫做素数，否则就叫做合数。常见的素数，如2、3、5、7、11、13、17、19、23、27、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97……

2.算术基本定理[1]：任意一个大于1的正整数都可以表示成一些素數的乘积，而且如果把这些素因子按从小到大的顺序排列后，表示方法是唯一的，如6936=23×3×172。

从这个意义上讲，如果研究清楚了素数的性质，自然数的性质从某种程度上讲也就清楚了。

早在古希腊时期的欧几里德首先证明了有无穷多个素数。但是令人遗憾的是他并没有找到素数的模型或产生素数的有效工具。要是有一个公式能够表示出所有的素数，那该多好啊！于是一场寻找素数公式的风潮席卷数学界数百年的研究历史。

四、概念的表述

截至2015年4月，人们也仅仅发现了区区280个费马合数以及322个费马数的素因子。这在科学技术高度发达的21世纪，简直是不可想象的！于是人们更倾向于认为“从第6项开始，费马数全部是合数”以及“存在无穷多个费马合数”等结论，但遗憾的是至今都没有严格的证明。而这些结论倘若与费马当初的猜想去比较的话，很容易会发现二者相去甚远，这就不免让人开始担心这将会毁了费马的一世英名。然而费马素数后来鬼魅般的出现在了另一个古老而又著名的数学问题——尺规作图。

五、应用

1.简单介绍尺规作图的发展历程[3]：这里演示一下正5边形的尺规作图法。古希腊人对于用没有刻度的直尺和圆规做正多边形的方法十分感兴趣：利用正3边形，能做出具有3×2n个顶点的正多边形；利用正4边形，能做出具有4×2n个顶点的正多边形；利用正5边形，能做出具有5×2n个顶点的正多边形；利用正15多边形，能做出15×2n个顶点的正多边形。因此我们很自然的会问，是否所有的正n边形，都可以尺规作图？如果不能，哪些正n边形可以，哪些不可以？

2.费马素数与尺规作图：1796年，年仅19岁的高斯证明了做出正17边形的可能性，从而首次在这一两千年来悬而未决的问题上做出了重大突破！5年后的1801年，高斯又给出了一个正n边形可尺规作图的充分条件[1]：当奇数n是一个费马素数，或是若干个不同的费马素数的乘积时，正n边形才能尺规作图。对奇数n，这一条件后来被证明也是必要的。费马数居然不可思议地出现在了用直尺和圆规做正多边形这样一个完全不同的问题当中。

从这个定理的结果可以看出：正3边形和正5边形可以做出，因为3和5都是费马素数；但却不能做出正7边形，因为7不是费马素数；也不能做出正9边形，因为9=3×3是两个相同的费马素数的乘积；也不能做出正11边形和正13边形，因为11和13都不是费马素数；但可以做出正15边形，因为15=3×5是两个不同的费马素数的乘积；也可以做出正17边形，因为17是费马素数；然后能够用直尺和圆规作图的正多边形依次是正51边形、正85边形、正255边形、正257边形等。

这里需要指出的是高斯本人实际上并未给出正17边形的具体作图法，第一个真正的正17边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出。

六、结论

素数公式是能够表示出所有素数的公式，具有重要的理论意义和应用价值。费马数猜想是费马试图给出素数公式的重要尝试，历史发展证明了这是伟大的费马在这一问题上所犯的一次美丽的“错误”，但是，同样伟大的高斯却出人意料地把它用于尺规作图，从而从某种意义上“救赎”了费马的“错误”，所以在课程设计时要重点让学生理解费马数的性质及应用，通过对费马数的研究历程来进行讲解，整堂课按照引入—知识回顾—概念的表述—应用—小结的模式进行设计，全程既具有趣味性又具有启发性。“小问题，大智慧”，从而充分展现初等数论这一学科的无穷魅力。

参考文献：

[1]柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]维基百科[EB/OL].https：//en.wikipedia.org/wiki/Fermat_numbers

[3]维基百科[EB/OL].https：//en.wikipedia.org/wiki/Compass-and-straightedge_con-struction.

Abstract：An instructional design for Fermat Numbers is provided in this paper. Starting with an example，the Fermat numbers are explained through the history of study. The key point is to help the students understand their property，along with the applications. The process is consisted in introduction，knowledge review，concept presentation，applications，and summary. The whole process is both interesting and instructive.

Key words：Fermat Numbers；Compass-and-straightedge construction；Instructional Design