浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养

杨昭 李文铭

摘要：逆向思维是一种创造性的思维方式。数学作为一门较抽象的学科，在培养学生的逆向思维能力方面有着十分重要的作用。本文通过介绍在教学中加强学生对数学概念、公式、定理的逆运用及对逆向思维解题技巧的掌握，并结合分析法和反证法，探讨教师如何在初中数学教学中训练学生的逆向思维能力。

关键词：逆向思维 初中数学 培养

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.155

正向思维一般是指传统的、逻辑的、习惯的思维方向，它在我们的生活和学习中经常采用。而逆向思维则是一种反向思维，它要求人们要善于从事物的正、反两个方向去思考问题，把一些原来一直如此的事物颠倒过来思考，从而认识事物的相反方面，揭示不同的现象，获得不同的效果，进而从中发现新的原理、新的方法、新的结构、新的思路。逆向思维在创新活动的过程中发挥着重要的作用，运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。

在初中数学中存在许多互逆运算，如：加减、乘除、乘方与开方等。它们都是相辅相成的。要真正学好数学，灵活解决数学问题，正向思维和逆向思维都不可或缺。然而初中生由于受到思维定势的影响，在解决数学问题时普遍习惯于从问题的正面入手。长此以往，便会造成学生的解题思路狭窄、思维僵化，不利于学生今后的数学思维发展。

作为初中数学教师在教学中要有意识地加强逆向思维的训练，打破学生的思维定势。从基本的初中数学教材入手，寻找其中能够用于培养学生逆向思维的素材，并重视对其在课堂中的讲解，使这些材料充分发挥培养学生逆向思维的作用。同时，教师应鼓励学生积极思考，使学生在自主探究中发现数学学习的乐趣，这样既锻炼了学生的思维灵活性，又激发了学生学习数学的兴趣。

一、加强学生对数学概念的逆运用

数学概念的学习对学生来说理解难度较大。如果教师在教学之初，仅注重对概念的一个方面进行教学，学生在今后的应用中也会只单一的重视从这一方面进行思考。学生没有完整掌握概念的内容，就容易导致理解的偏差，从而影响数学学习。这就要求教师在对于数学概念的教学中，注重从正反两方面进行教学，使学生同时理解概念的正、逆两种形式。

如学习“相反数”概念时，教师可考虑从正面提出问题：相反数是什么？再从反方向提出问题：什么数的相反数是什么？同时，还可以设计如下互逆的问题：如果a=-8，那么-a=     ;如果-a=-8，那么a=     。

又如，在教学“补角”概念时，教师就可这样引导学生从正、逆两方面来理解此概念：“如果α+β=180°，那么α和β互为补角”;反过来：“如果两个角α和β互为补角，那么α+β=180°”。

教师通过从正、逆两个角度巧设疑问，不仅训练了学生的逆向思维，同时使学生在学习数学概念之初就形成了完整的认识。

二、加强学生对数学公式、定理的逆运用

同数学概念的教学一样，教师在对数学公式、定理的教学中也应有意识地引导和培养学生逆向思维的意识和习惯，帮助学生从仅使用正向思维过渡到同时使用正、逆双向思维，克服长期思维定势导致的思维刻板，从而提高学生的数学思维能力。

如，教师在帮助学生理解方差公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]时，可从正向告诉学生，这些字母代表的含义，也可以通过例子逆向帮助学生强化公式的意义，如展示例题：一组数据的方差是S2=[（x1-4）2+（x2-4）2+（x3-4）2…+（x10-4）2]，则这组数据共有多少个？平均数是多少？

三、贯穿对逆向思维解题技巧的训练

逆向思维不是靠教师“教出来”的，是学生在各个教学环节中不断亲身经历、不断锻炼，不断积累而形成的。因此，教师要坚持在初中数学教学中不断渗透逆向思维解题的方法，合理利用练习题，帮助学生积累经验，从而逐步提升学生的逆向思维能力。以下就从三个方面举例说明，利用练习题培养学生的逆向思维解题技巧。

（一）逆用运算律

例1：计算129×（-63）+129×58-10×129-94×71+79×71。

此题看似复杂，涉及乘法分配律的逆运用，对于初学有理数混合运算的学生有一定难度，教师可引导学生细心观察题目特点，使学生发现此题可通过几次逆用乘法分配律大大简化运算。

解：原式=129×（-63+58-10）+71×（-94+79） （乘法分配律的逆用）

=129×（-15）+71×（-15）

=（129+71）×（-15）  （乘法分配律的逆用）

=200× （-15）

=-3000

（二）逆序思考问题

例2：已知方程2x2+（p-2）x+=0的两个根分别为某正方形的内切圆半径和外接圆半径，求p的值。

分析：若按正向思维，应得关于p的方程

=·

但解此方程非常麻烦。如果逆向思考，设正方形内切圆半径为r，则外接圆半径为r，由根与系数的关系得：

r+

r=

;

r·

r=

解得P=-。这道题目由于使用了逆向思维（假设二根已知），使问题的解答变得十分简便，通过正、逆两种解法的难度对比，学生能够更加清晰直观地感受到逆向思维解题的便捷之处，丰富了学生对逆向思维解题方法的认识。

（三）从问题的对立面入手

例3，若下列两个方程x2-2（a-1）x+（a2+3）=0;x2-2ax+a2-2a+4=0至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。此题若从正面着手，则情况较多。相反，如果我们从至少有一个方程有实数根的对立面，即两个方程都没有实数根考虑，则得到以下解法：

解不等式组：

4（a-1）2<4（a2+3）;

4a2<4（a2-2a+4）

得-1<a<2，所以所求实数a的取值范围为a≤-1或a≥2。

此题由于采用了逆向思维，解法变得如此简捷。

四、分析法

分析法是一种执果索因的逆向思维过程，指从要证的结论出发，逆向寻求使它成立的条件，直到归结为判定一个显然成立的条件为止，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。运用分析法解决问题，便于学生理清题设与结论之间的复杂关系，通过逆向思维获得解题的思路。

例4：已知如图1，△ABD与△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC。

[B][C][D][A][E][1][2][3][图1]

分析：在这道题中，教师可用问答的形式引导学生，通过已知结论寻求所要满足的条件，通过逆向思维，证明这道几何题目。

师：我们要证明BE=DC，需要怎样考虑？先证明什么？

生：证明，△ABE=△ADC。

师：那么要证△ABE=△ADC，首先需要哪些条件？

生：AD=AB，∠2+∠3=∠1+∠2，AC=AE。

师：要证明AD=AB，∠2+∠3=∠1+∠2，AC=AE还需要什么条件？

生：△ABD，△AEC为等边三角形（已知条件）

学生叙述时，教师可板书。

[BE=DC] [△ABE≌△ADC][AD=AB ∠2+∠3=∠1+∠2 AC=AE][△ABD，△AEC为等边三角形]

由此，学生便更加清晰地理解了此题的证明方法。

五、反证法

反证法是逆向思维在数学证明方法中的具体反应，反证法的实质是通过原命题的逆否命题的真实性来体现原命题的真实性，即通过提出假设后通过推理得到矛盾，从而证明结论的一种方法。这一方法扩展了学生的证明思路，并对培养学生的逆向思维能力有很大帮助。在反证法教学中，教师还应提醒学生注意反证法的适用情况及反证法在假设与推理过程中应该注意的问题，使学生形成缜密的数学思维习惯。

综上所述，逆向思维的培养是一个长期的过程。在初中数学的教学过程中，教师应善于应用初中数学教材中的相关材料，注重在教学中培养学生的逆向思维能力。通过逆向思维能力的训练，使学生获得对数学知识更加全面的理解，完善学生的数学思维，并在今后的学习和生活中更加灵活地应用知识解决问题。

参考文献：

[1]王俊琴.数学教育逆向思维培养的研究[J].学周刊，2014（10）.

[2]师庆飞.浅析逆向思维在初中数学教学中的运用[J].学周刊，2012（5）.

[3]傅锦程.谈逆向思维在数学教学的作用[J].学周刊，2012（1）.

[4]关文信.初中数学创新性教学指导[M].长春：吉林大学出版社，2001.

作者简介：

杨昭（1991- ），女，汉族，陕西咸阳人，陕西师范大学硕士研究生在读，研究方向：课程与教学论。

（责编 赵建荣）