贝努利方程的解法及其应用探析

廖玉梅

(贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州　贵阳550018)

贝努利方程的解法及其应用探析

廖玉梅

(贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳550018)

摘要：文章在传统解法的基础之上，阐述了常数变易法、变量代换法和微分法三种贝努利方程的解法，并在此基础之上，论述了贝努利方程的应用。

关键词：贝努利方程；解法；应用

1、贝努利方程的几种解法

一般贝努利方程表达式

y′+p(x)y=Q(x)yɑ(ɑ≠0,1)

(1)

对于贝努利方程求解，其传统方法为假设y1-ɑ=z，带入(1)式，则得一阶线性微分方程，如下

z′+(1-ɑ)p(x)z=(1-ɑ)Q(x)

(2)

在此基础之上，利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式，可以得到

z=(1-ɑ)e(1-ɑ)∫p(x)dx[∫Q(x)e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

(3)

然后，将y(1-ɑ)=z回代，可以得出贝努利方程的通解表达式为

y(1-ɑ)=(1-ɑ)e(1-ɑ)∫p(x)dx[∫Q(x)e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c] (c为任意常数)

在对贝努利方程的求解过程中，传统方法相对比较繁杂，在解答中需要借助一阶非齐次微分方程的通解。因此，笔者在研究传统方法的求解过程中，发现几种解法，对求解贝努利方程更为便捷。现具体归纳阐述如下：

1.1常数变易法

对于贝努利方程，它的齐次方程为

y′+p(x)y=0

(4)

则(4)式通解为

y=c e-∫p(x)dx

(5)

利用常数变易法，我们可以设

y=c (x)e-∫p(x)dx

(6)

为贝努利方程的解，对(6)式微分可得

y′=c′(x) e-∫p(x)dx-c(x)p(x) e-∫p(x)dx

(7)

现将(6)(7)带入贝努利方程(1)式中，可得

c-ɑ(x)c′(x)=Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dx

对上式两端取积分，有

c1-ɑ(x)=(1-ɑ)[Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

(8)

接下来，由(8)式求出c(x)，并带入(6)式，即可求得贝努利方程的通解为：

y1-ɑ=(1-ɑ)e(1-ɑ)∫p(x)dx[∫Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

其中c为任意常数。

1.2变量代换法

在贝努利方程的求解中，变量代换法也是较为常用的方法之一，具体的变量代换如下：

设贝努利方程的解为

y=u(x)v(x)

(9)

求导可得

y′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

(10)

并将其带入贝努利方程中，有

u′(x)v(x)+u(x)[v′(x)+p(x)v(x)]=Q(x)uɑ(x)vɑ(x)

(11)

其中，令v′(x)+p(x)v(x)=0，有

v(x)=e-∫p(x)dx

， (12)

将其带入(11)式中，可得

u1-ɑ(x)=(1-ɑ)[∫Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

(13)

所以，可得贝努利方程的通解为

y1-ɑ= (1-ɑ) e(1-ɑ)∫p(x)dx[ ∫Q(x) e(1-ɑ)∫p(x)dxdx+c]

其中c为任意常数。

1.3微分法

对贝努利方程的两边乘以积分因子e∫p(x)dx，可得

e∫p(x)dxy′+e∫p(x)dxp(x)y=Q(x) e∫p(x)dxyɑ

(14)

即

(15)

对(15)两边积分，得

[ye∫p(x)dx]1-ɑ=(1-ɑ)∫Q(x) e(1-ɑ)e∫p(x)dxdx+c

(16)

因此，贝努利方程的通解为

其中c为任意常数。

2、贝努利方程的应用

2.1贝努利方程在气流管道中的冷却应用

表1温差与流体速度间的关系

V2(m/s)20406080100△T(℃)0.783.16.812.419.3

2.2确定压强和计算流速

贝努利通过实验，得出了当理想流体在做稳定运动时，其流速与压强间存在这样的关系：

p+dv2/2+dgh=常量

从表达式我们可以知道，流体的流速越大其压强反而越小，但两者之间的关系又并非简单的反比关系。因此，贝努利方程在确定压强、计算流速的应用中，具有十分广泛的应用，且效果显著。

2.2.1确定静止液体压强

如图1所示，在容器中装有液体，在静止的液体里取下点，以及点下方处取点。为了研究的需要，我们将处的水平面作为零势面。那么，

hA=h,hB=0,pA=p0

此外，在容器中的液体处于静止状态，这也就说明，

v1=v2=0

于是，带入到贝努利方程之中可得，

pB=pA+dgh=p0+dgh

这样一来，便可以计算出静止液面下，某深度处的压强，在实际生产生活中具有较为重要的应用价值。

图1　　　　　　　图2

2.2.2计算液体流速

如图2所示，在盛有液体的容器中，在距离液面处的点，有以小孔(相比于容器截面，小孔的截面要小得多)。因此，在液体从小孔处流出的过程中，容器液面的下降速度很缓慢。也就是说，处液体微粒的流速可以忽略不计(即vA=0)。与此同时，我们将B处作为零势点，即hA=h,hB=0,液体中的A、B两点，均与外部大气先接触，那么其压强时一样的，即pA=pB=p0。

因此，将数值带入到贝努利方程之中，我们可以得出：

参考文献：

[1]张波汉，谭千蓉·高等数学[M].第2版，成都：西南交通大学出版社，2008.

[2]王玮·关于一阶线性常微分方程常数变易法的要点注记[J].嘉兴学院，2011(03).

[3]华东师范学学数学系·高等数学(上册)[M].上海：华东师范大学出版社，1998.

(责任编辑：王德红)

收稿日期：2015-03-12

基金项目：贵州省教育科学规划立项课题(项目编号：2013A062)中期成果。

作者简介：廖玉梅(1980～)女，湖南衡阳人，贵州师范学院数学与计算机科学学院讲师，硕士。研究方向：微分方程及其应用。

中图分类号：O175

文献标识码：A

文章编号：1673-9507(2015)03-0127-02

Analysis on Solving Methods and Application of Bernoulli Equation

Liao Yumei

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang550018, Guizhou , China)

Abstract：Based on traditional solving methods, this thesis conducts three solving methods of Bernoulli Equation, such as method of constant variation, method of variable substitution and differnetial method. In addtion, the thesis also carries a discussion on the application of Bernoulli Equation.

Key words:Bernoulli Equation, solving methods, application