精选典型习题，讲明数学思想

【摘 要】目前高中对数列的教学主要采取紧扣教材的方式进行。教师可以采用深入浅出的策略，精选隐含重要数学思想方法、隐含大道理的典型习题，立足小问题，讲明大道理，引导学生掌握解决问题的基本策略，进而能够解出高考中的数列试题。

【关键词】高中数学;数列;教学案例

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）42-0030-02

【作者简介】张志超，南京第五中学（南京，210004）教师，江苏省特级教师，中学高级教师。

一、“数列”的地位及教学要求

1.地位。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律、刻画离散现象的基本数学模型。在高中阶段，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

2.教学要求。

（1）掌握等差数列、等比数列的定义，通项公式以及前n项和公式，会用函数的观点理解数列的概念，能通过相应的函数及其图像直观地认识数列的性质。

（2）会用类比的方法认识等差数列、等比数列之间的区别和联系，要善于用等价转化的思想，将一些特殊的数列问题转化为等差数列或等比数列的相应问题。

（3）由《江苏数学高考考试说明》可知，等差数列和等比数列在高考中均为C级要求。因此，在历届数学高考中，数列作为必考题，通常出一道填空题和一道解答题，填空题难度中等，解答题大多为压轴难题。

二、“数列”教学的现状与思考

教材中的数列习题难度适中，但是高考中的数列试题却令人望而生畏，由于数列的特性，它的综合应用涉及函数与方程、递推与证明、归纳与猜想、等价转化、分类整合等多种数学思想方法，解决问题时需要高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种能力。因此，数列成为高中数学教学与高考的特难点。目前学校的教学主要采取按照教材，强调基础，完成教学任务。高三复习教学则立足基本，回避难题。这样做不为过，但是值得商榷。笔者以为：数列具有的上述特质，是发展学生数学综合应用能力的好素材，我们可以回避太难的题，但是对于数列中隐含的重要数学方法，应该努力开发。教师可以采用“小问题、大道理”深入浅出的策略，精选隐含重要数学思想方法、隐含大道理的典型小题，引导学生从小题入手，通过对小题的深入研究，明白其中的大道理，掌握解决问题的基本策略。下面笔者就列举一些教学中的经典案例，来讨论数列教学背后的“大道理”。

三、“数列”教学案例及思想方法

1.渗透转化思想。

例：已知数列an中，an= ，则S5=  。

解：因为an= ，所以an= - ，因此Sn=（ - ）+（ - ）+…+（ - ）= ，所以S5= 。

分析：本例所用方法为拆项求和。此方法是解决数列求和问题的常用方法，要求学生仔细观察通项，发现规律，采用等价变换，将要解答的问题变为简单易解的问题，体现了化繁为简的转化思想。对于形如an= （bn+1-bn=d，n∈N*）的求和问题，都可用此方法求解。此外，在具体教学中宜先从简单的问题着手，拾级而上，本例形式简单，是拆项求和的典型例题。

2.渗透分类与整合思想。

例：在数列an中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+

（-1）n（n∈N*），则S100=_____。

解：方法①，从局部考虑，由an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），得a3-a1=0，a4-a2=2，a5-a3=0，a6-a4=2，…，a99-a97=0，a100-a98=2，得a1=a3=a5=…=a97=a99=1，a2=2，a4=4，a6=6，…，a100=100，所以S100=50+×50=2600。

方法②，从整体考虑，由an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），令n=2k-1，得a2k+1-a2k-1=0（k∈N*），所以数列a2k-1是公差为0且a1=1的常数列，故a2k-1=1。令n=2k，得a2（k+1）-a2k=2（k∈N*），所以a2k是公差为2 且a2=2的等差数列，故a2k=2+（k-1）2=2k，所以S2k=（a1+a3+a5+…a2k-1）+（a2+a4+a6+…a2k）=k2+2k。故S100=2600。

分析：本题条件an+2-an=1+（-1）n（n∈N*）中出现了（-1）n，需要对n分为奇数和偶数两类进行讨论。通过分类，将数列an分为两个数列，再根据数列的特征进行求和。本题的两种解法从局部考虑或从整体考虑，渗透了转化求解、分类与整合的思想方法。

3.渗透函数思想。

例：已知数列an对于任意p，q∈N*有ap+aq=

ap+q，若a1=，则a36=_______。

解：方法①赋值法，由条件任意p，q∈N*及a1=与结论a36的确定，可令p=q=1，得a2=，令p=q=4，得a4=，同理可得a8=，a16=，a32=。令p=32，q=4，得a36=a32+a4=4。

方法②函数方法，将未知化为已知，设an=f（x），可将原题改为对于任意p，q∈N*，有f（p）+f（q）=

f（p+q），求f（36）。可令p=q，得2f（p）=f（2p），故

f（36）=2f（18）=4f（9）=4[f（8）+f（1）]=4[8f（1）+f（1）]=36f（1）=4。

分析：本题要求先阅读题面，弄清数列是特殊的函数，再根据条件用函数方法将任意的p，q∈N*赋予与结论有关的定值，通过迭代，逐步得到结果。赋值求解是函数思想处理问题的典型，体现了任意值与特殊值之间的转化。

4.渗透整体化的思想。

例：在等差数列an中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=     。

解：注意条件下标特征，根据等差数列的性质，可得a1+a5=2a3，a2+a6=2a4，得到a5+a6=2（a3+a4）-（a1+a2）=210。

分析：本例有多种解法，这里用的是整体化的方法。利用等差数列中若i+j=k+m，则ai+aj=ak+am的性质，简化了运算。事实上对于那类具有整体结构的等差数列问题，都可用整体化的方法处理。

5.渗透化归思想。

例：设数列an满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），则数列an的通项为__________。

解：由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1）。新数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列，故an+1=（a1+1）2n-1=2n，所以an=2n-1。

分析：数列通项满足an+1=can+d（c≠0，c≠1，d≠0）的递推形式，称an为递推数列。处理此类问题，通常可以采用待定系数法构造新数列an+k，使其为公比为c的等比数列，先求an+k，再求an。

递推数列是数列中的一个部分，解答递推问题的常用方法是通过恒等变形构造新数列，使其成为我们熟知的等差、等比数列再求解。此类问题的难易由递推数列的形式而定。常见的递推形式有：①an=cSn-b（n∈N*）; ②an+1-an=f（n）; ③=f（n）;

④an+1=2an+2n;⑤an+1+manan+1+an=0（m≠0）;等。求递推数列通项是数学中化归思想的重要体现，对学生的能力要求较高，是历年高考中的热点与难点，本题是此类问题的典型且形式简单。对于变形巧妙、难度较大的问题，可根据学生情况选讲。

四、结束语

由于江苏高考将等差等比数列定位为C级要求，即系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强或较为困难的问题，考题以填空题和解答题形式为主。填空题注重基础知识和基本能力考查，对于广大学生而言，只要夯实基础，掌握方法，是不难解决的;解答题大都为压轴题，是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题和数学探索创新的能力，对于广大学生而言是较为困难的。

笔者以为，对于数列的教学和复习应考，教师可以采用分而治之的策略：分解难点，先抓基础，尝试从能够反映大道理的小问题着手，引导学生通过对小问题的深入研究，明白其中的大道理，形成解决数列问题的基本策略，在此基础上，逐步过渡到对大问题的研究。