王莉敏
摘 要:在均值不等式应用的视角下,阐述了凑项、配项、拆项、串求、换元和待定系数六种变形与转化技巧,体现了均值不等式应用的灵活性.
关键词:均值不等式;解题技巧;工具性
均值不等式作为一种解题工具,它在许多问题的解决中应用得较为广泛,而且表现出独特的功能.然而,在使用均值不等式解决问题时,通常需要配合一定的变形与转化技巧,既有难度又不失灵活性.现举例说明如下:
一、凑项
例1.若0 解:y=x4(1-x2)= x2·x2·(2-2x2)≤ [ ]3= 当且仅当x2=2-2x2,即x= 时等号成立,故ymxa= . 二、配项 例2.若x,y,z∈R+,求证: + + ≥ . 证明:要证原不等式成立, 只需证 +1+ +1+ +1≥ , 即证(x+y+z)( + + )≥ , 即证[(x+y)+(y+z)+(x+z)]( + + )≥9, 而(x+y)+(y+z)+(x+z)≥3 , + + ≥3 ,所以原命题得证. 三、拆项 例3.已知a1,a2,…,an∈R+且a1·a2…an=1,求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n. 证明:(2+a1)(2+a2)…(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)…(1+1+an) ≥3 ·3 …3 =3n, 当且仅当a1=a2=…=an=1时等号成立.所以原命题得证. 四、串求 例4.已知a,b∈R+,a+b=1,x1,x2∈R+,求 + + 的最小值. 解: + + ≥3 =3 ≥3 =3 =6, 当且仅当 = = 时有最小值,即( + + )min=6. 五、换元 例5.已知a,b,c为△ABC三边的长,求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b). 证明:设m=b+c-a,n=c+a-b,p=a+b-c, 解之得a= ,b= ,c= . 所以abc= · · ≥ · · =mnp. 即abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b). 六、待定系数 例6.已知0 解:因为0 所以可设y= (1-t)x(1-x)(t+tx) ≤ [ ]3= ( )3(t>0), 当且仅当(1-t)x=1-x=t+tx,即x= = 时取等号,解得t=2± . 若t=2+ ,则x=- <0,故舍去;若t=2- ,则x= ,y= . 综上可知,ymax= . 编辑 张珍珍