例析均值不等式工具性视角下的解题技巧

2015-12-07 11:07王莉敏
新课程·中学 2015年10期
关键词:工具性解题技巧

王莉敏

摘 要:在均值不等式应用的视角下,阐述了凑项、配项、拆项、串求、换元和待定系数六种变形与转化技巧,体现了均值不等式应用的灵活性.

关键词:均值不等式;解题技巧;工具性

均值不等式作为一种解题工具,它在许多问题的解决中应用得较为广泛,而且表现出独特的功能.然而,在使用均值不等式解决问题时,通常需要配合一定的变形与转化技巧,既有难度又不失灵活性.现举例说明如下:

一、凑项

例1.若0

解:y=x4(1-x2)= x2·x2·(2-2x2)≤ [ ]3=

当且仅当x2=2-2x2,即x= 时等号成立,故ymxa= .

二、配项

例2.若x,y,z∈R+,求证: + + ≥ .

证明:要证原不等式成立,

只需证 +1+ +1+ +1≥ ,

即证(x+y+z)( + + )≥ ,

即证[(x+y)+(y+z)+(x+z)]( + + )≥9,

而(x+y)+(y+z)+(x+z)≥3 ,

+ + ≥3 ,所以原命题得证.

三、拆项

例3.已知a1,a2,…,an∈R+且a1·a2…an=1,求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.

证明:(2+a1)(2+a2)…(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)…(1+1+an)

≥3 ·3 …3 =3n,

当且仅当a1=a2=…=an=1时等号成立.所以原命题得证.

四、串求

例4.已知a,b∈R+,a+b=1,x1,x2∈R+,求 + + 的最小值.

解: + + ≥3 =3 ≥3 =3 =6,

当且仅当 = = 时有最小值,即( + + )min=6.

五、换元

例5.已知a,b,c为△ABC三边的长,求证:abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

证明:设m=b+c-a,n=c+a-b,p=a+b-c,

解之得a= ,b= ,c= .

所以abc= · · ≥ · · =mnp.

即abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

六、待定系数

例6.已知0

解:因为0

所以可设y= (1-t)x(1-x)(t+tx)

≤ [ ]3= ( )3(t>0),

当且仅当(1-t)x=1-x=t+tx,即x= = 时取等号,解得t=2± .

若t=2+ ,则x=- <0,故舍去;若t=2- ,则x= ,y= .

综上可知,ymax= .

编辑 张珍珍

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