负迁移的若干类型及其克服

黄富龙

“正迁移”如灯塔指引我们走向胜利的彼岸，而“负迁移”却如迷雾把我们引向歧途。只有拨开“负迁移”引起的迷雾，我们才能看得更清、走得更远。下面我们通过教学中遇到的问题说明负迁移的若干类型及其克服方法，期望对教师的教学有所启发和帮助。

1 负迁移的若干类型

1.1概念不清引起的负迁移

例1：已知xi≥0（i=1，2，…，n），且x1+x2+…+xn=1. 求证：1≤+ +…+≤ .（提示：由2≤x1+x2=1类比证明）

本题出自湘教版《数学选修2-2》（第117页第2题），笔者在课堂上给出的解法是：

∵0≤xi≤1（i=1，2，…，n），∴0≤xi≤≤1（i=1，2，…，n），∴+ +…+≥x1+x2+…+xn=1。

又∵（+ +…+）2= （x1+x2+…+xn）2（ +  +…+  +  +…+ ）≤（x1+x2+…+xn）+（x1+x2）+（x1+x3）+…+（x1+ xn）+（x2+ x3）+…+（xn-1+xn）=n（x1+x1+…+xn）=n

∴+ +…+≤。

∴1≤+ +…+≤。

一个成绩很不错的学生疑惑地看着笔者：“老师，您是不是解错了？”学生将自己的解题过程板书如下：

∵+ +…+≥n=n……①，

又∵n≤n  = n（）1/2=……②，

∴+ +…+≥……③.

笔者问：“为什么由①②两式可以推出③成立？”

学生：“①式恒成立，自然有①式左边的式子大于等于右边式子的最大值。”

学生的思路似乎很有道理，但明显是错了。笔者举了一个反例：取x1=x2=x3=x4=0.25，x5=0，显然有x1+x2+…+x5=1，但+ +…+=2，并不大于等于。

学生意识到错了，但究竟错在哪里？学生们瞪大眼睛。笔者解释：首先从不等式结构来看，①和②不是同向不等式，由①②推不出③，即不满足不等式的传递性。其次，①式不是恒成立问题，而是一个恰成立问题。这位同学是把我们以前学过的恒成立问题与恰成立问题、能成立问题混淆了。

笔者继续解释：若不等式f（x）>A在区间D上恒成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最小值大于A，若不等式f（x）2x，x∈[-2，4]，求x 的范围。并没有要求x2+1>8x>，不等式的解是x∈[-2，1）∪（1，4]。也就是说，x2+1>2x成立并不需要x2+1大于2x的最大值，因为左右两边都是变量，并不像 f（x）≥A恒成立的形式。

学生点头表示理解之后，笔者再举例，引导学生进一步分辨清“恒成立问题”“能成立问题”“恰成立问题”。其实，学生的错误也是一种很好的教学资源，也是巩固知识、生成正确认识的契机。

1.2类比不当引起的负迁移

例2：等差数列{an}的依次k项的和组成的数列a1+a2+…+ak ，ak+1+ak+2+…+a2k，…，a（m-1）k+1+a（m-1）k+2+amk（mk≤n）仍为等差数列.请问将该命题中的 “等差数列”改作“等比数列”，那么以上结论还成立吗？

这个题目很多学生容易回答成立。其实，在这道题中，等比数列依次k项的存在有为0的情况 （如等比数列1，-1，1，-1，…，的依次2项的和构成的数列为0， 0， … .）， 而根据定律，0是不能作为等比数列的项的，所以等差数列中的这个结论在变为等比数列之后，就不再成立.

正确的类比结论是：等比数列{an}的依次k项的和（若不为零）组成的数列a1+a2+…+ak，ak+1+ak+2+…+a2k，…，a（m-1）k+1+a（m-1）k+2+…+amk（mk≤n）仍为等比数列，这样的结果就判定为正确。

例3：已知，，都是非零向量，λ∈R，有下列5个等式或命题：①·=·;②（+）=+;③（）=（）;④λ（+）=λ+λ;⑤若（）=，则=.

则所有正确等式或正确命题的序号是_____ .

错解：填①②③④⑤.

剖析：向量不同于实数，向量是有大小有方向的量，故③是错误的，因为∈R，（）与共线，而（）与共线，但与未必共线，故③不正确。

⑤也是错误的，可举一个反例，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，假设=，=，=，∵⊥，⊥;∴=0=，但≠，所以⑤是不正确的。

因此，正确的选项为①②④。可见，概念模糊也会引起负迁移。

1.3想当然引起的负迁移

例4：具有公共y轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角α-y轴-β等于60°. 已知β内的曲线C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲线C′在α内的射影的曲线方程。

许多同学是这样解的： 依题意，可知曲线C′是抛物线，

在β内的焦点坐标是F′（，0），p>0。

因为二面角α-y轴-β等于60°，

且x′轴⊥y轴，x轴⊥y轴，所以∠xox′=60°

设焦点F′在α内的射影是F（x，y），那么，F位于x轴上，

从而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°所以OF=OF′· cos60°=·=. 所以点F（，0）是所求射影的焦点。依题

意，射影为抛物线，开口向右，顶点位于原点。

所以曲线C′在α内的射影的曲线方程是y2=px。

上述解答的错误为：凭直觉误认为焦点F′在α内的射影F是焦点，其次未通过证明直接得出抛物线C′在α内的射影也是抛物线。正确解法是：在β内，设点M（x′，y′）是曲线上任意一点。

过点M作MN⊥α，垂足为N，

过N作NH⊥y轴，垂足为H连接MH，

则MH⊥y轴，所以∠MHN是二面角α-y轴-β的平面角，依题意，∠MHN=60°。

在RtΔMNH中，=HM·cos60°= x′。

又知HM/x′轴（或M与O重合），HM/x轴（或H与O重合），设N（x，y），

则

因为点M（x′，y′）在曲线y2=2px′（p>0）上，所以y2=2px（2x）。

即所求射影的方程为y2=4px（p>0）。

说明：“想当然”可能是正确解题的一条途径，甚至可能是科学发现的一个通道，但也可能出现严重的错误，避免错误就要进行推理论证。

2 负迁移的克服

根据以上对数学教学中的负迁移现象的分类及一般特点的归纳和分析，教师在教学过程中同时运用教育学的普遍原则，根据学生的认知规律，总体上可以采用以下三种基本教学策略。

2.1加强对比教学

对比分析法是教学中一种非常重要的方法，可使学生较快地掌握概念，同时它还是一种非常重要的思维方法。学生在对相似、相近或相关的知识进行比较分析时，正确使用对比教学法，不仅能够更加了解知识本质，同时还能对它们之间的区别和联系加以更好地掌握，从而有利于学生学习，有效防止或消除知识的负迁移。对比分析的方法很多，教师在教学过程中应当一一予以分析讲解。例如：为了避免互斥事件带来负迁移效应，在教学中，教师可采用“相似对比法”，对比分析互斥事件与相互独立事件的区别与联系。互斥与相互独立的事件是两个截然不同的概念，虽然它们同属于对两个事件的关系进行描述，但不同点在于：两者针对问题的角度是不一样的，前者是能不能同时发生，后者则着眼于有没有影响。另外，从试验的次数来加以区别，前者是指在同一次试验中，出现的几种不同事件，后者则是分两次或两次以上的不同试验影响下出现的不同事件。同时要有意编选一些能鉴别“互斥”与“相互独立”的实例，引导学生通过对比，更好地掌握和区分这两个概念，从而防止因混淆关系而致误。

2.2加强探究教学

数学探究学习是指学生围绕某个数学问题进行自主探究、学习的这一过程。过程包括：观察、分析数学事实，提出数学问题、猜测数学结论或规律，给出解释、证明。探究性学习的精髓在于学生自主学习，即使他们由被动地接受知识转变为知识的探索者，通过自主学习，积极思考和合作讨论来获取有用的知识。譬如：定义与概念是数学的精髓，是灵魂，是对数学现象的高度抽象和概括，只有准确理解概念，才能防止定义和概念的负迁移现象，以致能够对定义与概念进行准确的运用。因此在学习一个新的数学概念时，必须对数学要领的具体形成过程和本质有更加深入地探究，对每一个定义概念进行更加深入的理解、反思和类比，这样有助于真正掌握概念，从而克服因“相关概念的干扰”以及“概念理解不全的干扰”而出现的负迁移现象。

2.3加强习题教学

当学生对数学概念和规律的理解得不深不透时，教师可在布置平常的数学练习中，有意识地选编一些容易学生平常可能出现错误的题目，让学生多做、多思考，从而能够在错误中学习经验，“吃一堑，长一智”，以达到事半功倍的效果，以求日后再考试中取得更好的成绩。另外，教学中还要围绕课本中的重点、难点和疑点等内容，必须从不同角度构造问题，通过演练促使学生对问题的实质产生全面准确地理解，这样就可以更好地培养学生的迁移能力。譬如，对于导数在单调性与极值应用中的问题，由于导数等概念的抽象性，学生对基础知识掌握不全面性或对题意理解不准确等而导致经常出现一些错误现象。针对这种情况，教学时不妨选编像以上这样的有关问题，让学生去练习、去分析和思考，从而防止学生知识负迁移。