函数零点细斟酌

王友就

一般地，对于函数，我们把方程的实根x叫作函数的零点。求解与函数零点有关的问题，需要仔细斟酌，稍有疏忽就会出错，下面举例分析。

一、对零点含义理解错误

例1 函数的零点是（）。

A.（1.0）

B.（4，O）

C.（1，O）或（4，O） D.1或4

错解：应选C。

错解分析：错解的原因是没有理解零点概念的含义，误认为零点就是一个点。函数的零点是一个实数，即使成立的实数z，也是函数的图像与x轴交点的横坐标。

正解：令，可得x=1或x=4，应选D。

二、忽视端点值致错

例2 若函数f（x）在区间[5，5]上的图像是连续不断的曲线，且f（x）在（-5，5）内有一个零点，则的值（）。

A.小于O

B.大于0

C.等于0

D.不能确定

错解：由函数零点存在性定理知f（-5）.f（5）错解分析：应该正确理解函数零点的含义及函数零点的存在性。当函数f（x）在（-5，5）内有一个零点时的符号不能确定。

正解：已知函数f（x）在区间[-5，5]上的图像是连续不断的曲线，且函数f（x）在（-5，5）内有一个零点，若该零点是变号零点，则有，否则有。应选D。

三、盲目运用零点存在性定理致错

例3 判断函数在区间[-1，1]内是否有零点。

错解：因为，所以.可知丽数在区间[-1.1]内没有零点。

错解分析：上述解法错用了函数零点存在性定理。若函数在区间[a，b]上的图像是连续曲线，则在[a，b]内可能有零点。

正解：令可得，所以函数2015在区间[-l，1]内有两个零点。

四、忽视二次项系数为零致错

例4 函数有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是______。

错解：对于函数，若即，则m=l，可知方程0有唯一实根x=1。

若△≠0，显然x=0不是零点，这样函数f（x）有且仅有一个正实数零点等价于方程1=0有一正根和一负根，则mf（0）<0，即m<0。

所以实数m的取值范围是（-∞，0）U{1}。

错解分析：错解忽视了对m=0的讨论。若m=0，则f（x）=-2x+l是一次函数。

当，此时函数f（x）有且仅有一个正实数零点。

正解：若是函数f（x）的一个正实数零点。

若m≠0，当△=O时，即可得m=l，可知方程有唯一正实根x=1；当△≠0时，显然x=0不是零点，这样函数f（x）有且仅有一个正实数零点等价于方程，1=0有一正根和一负根，则，mf（O）<0，即m<0。

所以实数m的取值范围是（-∞，0]U{1}。

五、忽视特殊值x=1致错

例5 若函数 f（x）=则函数y=f（x）-x的零点为_______。

错解：由解得所以函数y=f（x）-x的零点为

错解分析：上述解法漏掉了

正解：函数y=f（x）-x的零点即为方程f（x）=x的根。