函数零点细斟酌

2015-11-26 02:27王友就
中学生数理化·高一版 2015年9期
关键词:实根实数零点

王友就

一般地,对于函数,我们把方程的实根x叫作函数的零点。求解与函数零点有关的问题,需要仔细斟酌,稍有疏忽就会出错,下面举例分析。

一、对零点含义理解错误

例1 函数的零点是()。

A.(1.0)

B.(4,O)

C.(1,O)或(4,O) D.1或4

错解:应选C。

错解分析:错解的原因是没有理解零点概念的含义,误认为零点就是一个点。函数的零点是一个实数,即使成立的实数z,也是函数的图像与x轴交点的横坐标。

正解:令,可得x=1或x=4,应选D。

二、忽视端点值致错

例2 若函数f(x)在区间[5,5]上的图像是连续不断的曲线,且f(x)在(-5,5)内有一个零点,则的值()。

A.小于O

B.大于0

C.等于0

D.不能确定

错解:由函数零点存在性定理知f(-5).f(5)错解分析:应该正确理解函数零点的含义及函数零点的存在性。当函数f(x)在(-5,5)内有一个零点时的符号不能确定。

正解:已知函数f(x)在区间[-5,5]上的图像是连续不断的曲线,且函数f(x)在(-5,5)内有一个零点,若该零点是变号零点,则有,否则有。应选D。

三、盲目运用零点存在性定理致错

例3 判断函数在区间[-1,1]内是否有零点。

错解:因为,所以.可知丽数在区间[-1.1]内没有零点。

错解分析:上述解法错用了函数零点存在性定理。若函数在区间[a,b]上的图像是连续曲线,则在[a,b]内可能有零点。

正解:令可得,所以函数2015在区间[-l,1]内有两个零点。

四、忽视二次项系数为零致错

例4 函数有且仅有一个正实数零点,则实数m的取值范围是______。

错解:对于函数,若即,则m=l,可知方程0有唯一实根x=1。

若△≠0,显然x=0不是零点,这样函数f(x)有且仅有一个正实数零点等价于方程1=0有一正根和一负根,则mf(0)<0,即m<0。

所以实数m的取值范围是(-∞,0)U{1}。

错解分析:错解忽视了对m=0的讨论。若m=0,则f(x)=-2x+l是一次函数。

当,此时函数f(x)有且仅有一个正实数零点。

正解:若是函数f(x)的一个正实数零点。

若m≠0,当△=O时,即可得m=l,可知方程有唯一正实根x=1;当△≠0时,显然x=0不是零点,这样函数f(x)有且仅有一个正实数零点等价于方程,1=0有一正根和一负根,则,mf(O)<0,即m<0。

所以实数m的取值范围是(-∞,0]U{1}。

五、忽视特殊值x=1致错

例5 若函数 f(x)=则函数y=f(x)-x的零点为_______。

错解:由解得所以函数y=f(x)-x的零点为

错解分析:上述解法漏掉了

正解:函数y=f(x)-x的零点即为方程f(x)=x的根。

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