函数零点常考题型扫描

吴祖金 李中方

函数的零点是函数、方程、图像的知识交汇点，它充分体现了函数与方程的关系，且蕴含丰富的数学思想。每年高考都有此类题出现，下面例析一些常考题型，供大家学习与参考。

题型一：函数零点的分布

例1 函数的零点所在的大致区间是（）。

A.（1，2）

B.（2，5）

C.（5，10）

D. （10，+∞）

解：由，可得f（l）=-9<0，

由函数零点存在性定理，可知函数f（x）的零点所在的大致区间是（5，1O），应选C。

评析：函数y=f（x）在[a，b]上连续，且f（a）.f（b）0时，函数也可能有零点。

题型二：函数零点与零点个数的判断

例2 函数，的零点个数为（）。

A.2

B.3

C.7

D.0

解：由f（x）=0，可得或，解得x=-1或。

所以函数f（x）共有2个零点，应选A。

评析：对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（l）结合函数图像；（2）根据零点存在性定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一。

题型三：根据函数零点的存在情况，求参数的值或范围

例3 已知函数

（l）若函数y=g（x）-m有零点，求实数m的取值范围。

（2）确定m的取值范围，使得方程g（x）-f（x）=0有两个相异实根。

解：（1）作出函数的大致图像（如图1）。

由图像知，若y=g（x）-m有零点，则只需m≥2e。所以实数m的取值范围是[2e，+∞）。

（2）若方程g（x）-f（x）=0有两个相异实根，即函数g（x）与f（x）的图像有两个不同的交点。

再在图1中作出函数1的大致图像（图略）。因为，所以其图像的对称轴为x=e，开口向下，最大值为

可知当，即时，g（x）与f（x）有两个不同交点，即方程g（x）-f（x）=0有两个相异实根。所以m的取值范围是

评析：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围。若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造函数，利用两个函数图像的关系求解，这也体现了数形结合思想的应用。

题型四：二次函数的零点问题

例4 已知二次函数

（l）若a>b>c，且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点。

（2）若对x1，x2∈R，且x1