吴传叶
一、选择题
1.方程的根存在的大致区间是()。
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(3,4)
2.若f(x)是奇函数,且x。是的一个零点,则-x0一定是函数()的零点。
A.
B.
C.
D.
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,,则函数g(z)=f(x)-x+3的零点的集合为()。
A.{l,3}
B.{-3,-1,1,3)
4.已知偶函数y=f(x),x∈R,且满足f(x)=若函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()。
A.1
B.3
C.2
D.4
5.设函数,集合M={x|f(x)=
A.ll
B.13
C.7
D.9
6.若a满足满足,函数,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是()。
A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知e是自然对数的底数,函数的零点为a,函数g(x)=Inx+x-2的零点为6,则下列不等式成立的是()。
A.f(1)B.f(a)
(l)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
24.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知各投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系。
(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最人收益是多少。
25.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消牦费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:。若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(1)求k的值及f(x)的表达式。
(2)问隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
参考答案与提示
一、选择题
1.提示:设,则得,所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点,应选B。
2.提示:由已知可得,则,即得,可知一定是的零点。
应选C。
3.提示:求出当x<0时f(x)的解析式,分类讨论解方程即可。
令x<0,则-x>0,所以
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)。
所以当x<0时,当x≥0时,
令g(x)=0,即,解得x=l或x=3。
当x<0时,令g(x)=0,即,解得(舍去)或
所以函数g(x)有3个零点,其集合为{-2-
应选D。
4.提示:作出函数f(x)与g(x)的图像(图略),其中包括的图像。
由图像可知两个函数有3个不同交点,所以函数y=f(x)-g(x)有3个零点。
应选B。
5.提示:由集合,结合函数f(x)的解析式及韦达定理,易求出c1及C4的值。
由根与系数的关系知(这里为方程的根,4)。
,由集合M中的性质可取(1,7),(2,6),(3,4),(4,4),且知c1≥c2≥C3≥C4,所以c1=16,C4=7。
所以c1-C4=9。
应选D。
6.提示:由a满足x+lgx=4,b满足4,可得a,b分别为函数y=4-x与函数y=lgx,图像交点的横坐标。
由于y=z与y=4-x图像交点的横坐标为2,函数y=lg z与的图像关于y=x对称,所以a+b=4。
所以函数f(x)=
当x≤0时,关于x的方程f(x)=x,即,可得x=-2或x=-l,可知满足题意;当x>0时,关于x的方程f(x)=x,可得x=2,可知满足题意。
所以关于x的方程f(x)=x的解的个数是3。
应选C。
7.提示:先确定两函数零点所在的区间,再利用函数f(x)的单调性求解。
因为函数f(x),g(x)均是增函数,且f(0)·f(1)<0,g(1)·g(2)所以a
14.提示:因为点(1,0),(-l,0)在f(x)的图像上,且图像关于直线x=-2对称,所以点(-5,0),(3,O)必在f(x)的图像上。
所以f(-5)=(1-25)(25-5a+b)=O,f(-3)=(1-9)(9-3a+b)=0,联立解得a=8,b=15。
所以,即f(x)
令,则f(t)=,当t=l时,
答案为16。
15.提示:由,可得
所以
所以f(x)在(-l,O)内存在零点。
又f(x)为增函数,所以f(x)在(-l,0)内只有一个零点,可得n=-l。
答案为-l。
16.提示:在同一直角坐标系中作出函数y=f(x),y=kx的图像(图略)。
函数y=f(x)图像最高点的坐标为A(2,1),过坐标原点0和点A的直线斜率为2。
当x≥2时,是单调减函数,且f(x)>O,直线y=kx过原点,所以当O答案为(O,2)。
17.提示:
令,则
由于f(x)有零点,则关于t的方程,2=O在(一∞,-2]U[2,+∞)上有解。
因为t≠-l,所以方程可化为
所以上都是减函数,所以当t≤-2时,a≥2;当t≥2时,
所以
18.提示:当O≤x<2时,f(x)=x(x十1)(x-l),即当0≤x<2时,f(x)=o有两个根,即x=0或x=1。
f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,即x=2或x=3;当4≤x<6时,f(x)=o有两个根,即x=4或x=5;6也是f(x)=0的根。
故y=f(x)的图像在区间[O,6]上与x轴的交点个数为7。
三、解答题
19.提示:(l)当a=o时,显然f(x)是奇函数。
所以函数f(x)在[1,2]上单调递增。
20.提示:设彩电的原价为a元。
由题意可得a(1+0.4)×80%-a=270。
所以0.12a=270,解得a=2250。
所以每台彩电的原价为2250元。
21.提示:(l)因为y与x-0.4成反比例,所以设
把x=0.65,y=0.8代人上式得0.8=,可得k=0.2。
所以,则y与x之间的函数关系式为
(2)根据题意得(0.8-0.3)(1+20%),整理得,解得
因为x的取值范围是0.55~0.75,所以x=0.5不符合题意,则x=0.6。
所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。
22.提示:(l)根据题意可得
又1≤x≤10,可解得3≤x≤10。
(2)设利润为y元,则。
所以当x=6时,。
即当生产速度为6kg/h时,最大利润为457500元。
23.提示:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为,所以这时租出100-12=88(辆)。
(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为
所以当x=4050时,f(x)最大,其最大值为f(4050)=307050。
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元。
24.提示:(l)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为
由已知得
所以
(2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20—x)万元。
依题意得
所以当t=2,即x=16时,投资收益最大,其最大收益为
25.提示:(l)由已知条件得C(0)=8,则k=40。
所以
(2)由此可得
当且仅当,即x=5时上述不等式的等号成立。
所以当隔热层为5cm时,总费用f(x)达到最小,其最小值为70万元。