捕捉、提取、组合、反馈四阶段解题的思维剖析与思考*——以2014年张掖卷第28题为例

☉甘肃省张掖市第三中学　李永明

捕捉、提取、组合、反馈四阶段解题的思维剖析与思考*
——以2014年张掖卷第28题为例

☉甘肃省张掖市第三中学李永明

中考数学压轴题是对学生所学知识的灵活运用，以及分析、解决问题能力的全面考查，由于它的知识覆盖面广、综合性强、难度系数大，既考查基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，特别是注重发展学生的创新能力方面，有较大的区分度.如何才能在压轴题中提出有利于解题的问题呢？如何才能用科学的方法解决遇到的压轴题呢？按照罗增儒教授的《数学解题学引论》一书指引，笔者结合2014年张掖卷第28题从理解题意中捕捉有用的信息和从记忆储存中提取有关的信息两个方面入手，认真反馈解题的思维过程，分析解题过程中的知识结构和逻辑结构，让学生学会解题过程分析，进一步提高解题能力.现拙文呈现其“四阶段”思维过程，以期抛砖引玉，与同行交流.

一、解题分析

（一）精心审题，捕捉基本信息

题目（2014年张掖）如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由二次函数y=x2-3的图像向右平移一个单位后得到的，它与y轴的负半轴交于点A，点B在此抛物线上，且横坐标为3.

（1）求点M、A、B的坐标；

（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）点P是此抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求点P的坐标.

认真阅读例题，你能发现些什么？

本题是一道由抛物线和直角三角形结合的综合问题，第（1）问是求抛物线的顶点坐标及另两点的坐标，解题的关键是要确定抛物线的关系式，如何才能确定抛物线的关系式呢？如何才能从审题中捕捉有用的信息，正确解答所需要的条件呢？解题的思维就从这里展开.

图1

1.从例题的文字叙述中获取“符号信息”

顶点为M的抛物线是由二次函数y=x2-3的图像向右平移一个单位后得到的；新抛物线与y轴的负半轴交于点A；点B在新抛物线上，且横坐标为3.

这三条从例题的文字叙述中获取全文字叙述的“符号信息”，还得要求学生从大脑中提取其数学表达式，进行加工再生，使其转变成有直观性、有实际意义的“符号信息”.例如：顶点为M的抛物线是由二次函数y=x2-3的图像向右平移一个单位后得到的，平移后的抛物线关系式可表示为y=（x-1）2-3；新抛物线与y轴的负半轴交于点A，可表示为A（0，m），m为未知数；点B在新抛物线上，且横坐标为3，可表示为B（3，n），n为未知数.

2.从例题的图形中获取“形象信息”

顶点为M的抛物线是由二次函数y=x2-3的图像向右平移一个单位后得到的，开口方向、形状完全相同，二次函数y=x2-3的顶点坐标为（0，-3）向右平移一个单位后得到新抛物线的顶点M；新抛物线与y轴的负半轴交于点A的横坐标为0等.这些信息都不是题目直接告诉的，而是要学生根据自己的学习经历，通过已知图形直接感知到的，不同的人有不同的结果.

（二）温故知新，提取有关信息

解题的第二步是温故知新，从大脑中提取与本题有关信息和类似的题目.首先，学生通过精心审题，捕捉到了题目中有用的基本信息；其次，学生努力追忆在课本、资料出现过的类似题目，从大脑中提出与本例题有关的定义、公式、法则、公理、定理、类题和基本模式等解题依据，索取已知的知识，调动潜在的技能，进行信息的对比、借鉴和再生.这既是启发学生从“题”中获取信息，又是催促学生从“记忆”中索取信息.如果学生想到了与本题有关的信息，就把每一条都罗列出来，供下一步使用.如果学生想到的信息与本题无关，就等于告诉学生要进行下一步的行动.

从记忆储存中提取与题目有关的信息，作为解题继续进展的依据：抛物线横向平移，纵坐标不变，抛物线纵向平移，横坐标不变；知道抛物线的顶点式y=（x-h）2+k，求抛物线的顶点坐标；知道横坐标，代入抛物线的解析式求纵坐标；正切的定义；勾股定理及逆定理.这些信息的选择与提取，是与上一步“精心审题，捕捉基本信息”相关进行的，中间也许会经过许多次的尝试与失败.

（三）去伪存真，组合有效信息进行解题

解题的第三步是组合有效信息进行解题.把从题目中捕捉到的有用信息与记忆储存中提取的有关信息结合起来，进行加工、重组和再生，这实质上就是解题思路的探求.把这两方面的信息进行有效的组合，使之成为一个和谐的逻辑结构.

1.第（1）问解法

第（1）问把从题目中捕捉到的有用信息与记忆储存中提取的有关信息结合起来画出解题的信息过程，如图2所示.

图2

这就是解这道题第（1）问的平面结构图，包括有用捕捉、有关提取、有效组合三部分.把它的逻辑骨架抽取出来，就是解题的书写过程.如果我们自觉地、坚持不懈地进行这样的结构分析，将有效提高学生运用解题思想方法、调动解题思想方法的能力和解决压轴题的能力.

方法1：（解析法）由二次函数y=x2-3的顶点坐标为（0，-3），因为图像向右平移一个单位，所以新二次函数的顶点坐标为（1，-3），由顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0），其中，点（h，k）为顶点，可得抛物线的解析式y=（x-1）2-3，又知道M、A、B的横坐标，代入解析式求出点M、A、B的纵坐标.

方法2：（平移法）如图3，由从例题的文字叙述中获取“顶点为M的抛物线是由二次函数y=x2-3的图像向右平移一个单位后得到的”和从记忆储存中提取“抛物线横向平移，纵坐标不变”两条信息有效组合，化“生”为“熟”就可以很简单地求出A、B、M三点的坐标.解题的信息过程如图4所示.

图3

图4

方法3：由二次函数y=x2-3知顶点M1（0，-3），向右平移一个单位后可得M（1，-3）；反之，B点的横坐标3，向左平移一个单位后得到B1点的横坐标为2，代入y=x2-3得B1点的纵坐标为1，即B（3，1）；由图3知A点的横坐标为0，点A向左平移一个单位后得到A1点的横坐标为-1，代入y=x2-3得A1点的纵坐标为-2，即A（0，-2）.

2.第（2）问解法

在平面直角坐标系中求线段的长，一般有两种方法：构造法和两点间的距离公式.

方法1：（构造法）如图5，作BC⊥y轴，垂足为C，构造Rt△ABC；作MD⊥y轴，垂足为D，构造Rt△AMD；过点B、M分别作y轴和x轴的平行线交于点E，构造Rt△BME.由勾股定理分别求出AB=，用逆定理判断△BAM是一个直角三角形，求出tan∠ABM=

图5

方法2：（公式法）如图5，因为点A（0，-2），B（3，1），由两点间的距离公式同理可得AM和BM.（其他过程略）

3.第（3）问解法

在此题第（3）问的思考过程中，我们可以从以下几方面进行思考：

方法1：（构相似，列方程）如图6，①当点P在x正半轴上方时，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，过P点作PE⊥y轴，垂足为E，则Rt△BAM∽Rt△PEO，由相似三角形的性质得，由第（1）问，设P点的坐标为（x，x2-2x-2），则，解得

图6

②当点P在x正半轴下方时，方法同上.（其他过程略）

方法2：（设交点，解方程）过程略.

（四）举一反三，反馈解题过程

解题的第四步还应反馈解题过程.从信息论的观点，反馈就是系统的输出转变成系统的输入.任何系统只有通过反馈信息才能实现控制，没有反馈信息的系统就不能实现控制.解题是一个可控的系统，为了有效地实现控制，必须要有信息的反馈.反馈解题过程不仅能改进完善解题的思路和方法，而且能提炼出对解题有指导作用的信息，进一步升华为学生搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力的总和.没有解题反馈的过程是一个不完善的过程，下面笔者从解题中的反馈和解题后的反馈进行说明.

1.解题中的反馈与优化

解题中的反馈通常称为负反馈.如果我们把解题的现状与目标之间的差异称为目标差，那么负反馈的本质就在于设计一个目标差，通过系统不断地控制后果与目标作比较，使得它在控制的过程中慢慢减少，最后达到解题的目标.下面笔者以第（2）问为例来找目标差：

最显著的目标差是：

①条件：连接AB、AM、BM，构成三角形；

②结论：求∠ABM的正切值.

对此立即做出反应，如果△BAM是一个直角三角形，目标差将逐渐减小，问题就变的简单化.

至此，我们已经建立起了条件和结论之间的联系，整个思路就沟通了.这将是一个“目标差”逐渐减小、连续积累“目标差”、有目的地定向调控和有价值地渐次逼近的过程.

2.解题后的反馈与优化

反馈原理对于解题的指导作用，不仅表现为解题中对目标差的调节，而且表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价.对数学命题的重新认识包括解法正确吗？能否对问题的答案和解题过程进行有效的检验？是否对条件和结论作过适当讨论？探索题目的背景时，是否对结论特殊化、一般化等.对解题方法的评价主要是探求方法的实质，追求解法的优化等问题，其内容包括题目本身有什么特点？解题中是怎么利用这些特点找到解题突破口或成功思路的？教训是什么？解题中应用了哪些知识与方法？其中关键在哪里？画一张结构图；是否还有别的方法？更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单的方法，更多的方法？方法本身对已知数据或已知关系的依赖是本质的还是非本质的？同样的方法是否能立即做出推广？实质性的推广需对方法做怎样的改变或创新？提炼对今后解题有指导意义的方法论价值，逐步积累搜集信息、分析信息、加工信息、应用信息的能力.

二、对解题的几点思考

研究解题过程，不是去寻找万能的解题模式，而是力图揭示人的思维活动过程和解题的有效途径.思维活动过程中最富于创造性的是提出问题，解题的有效途径是分析解题过程.因此，要充分运用数学知识，调动数学能力，即提出问题又不断解决问题，去分析和思考解题过程，形成解题能力，提高解题效率，使其终身受益.

1.提炼信息，化“繁”为“简”，生成解题途径

认真读题、审题、丰富的联想、准确的判断，精明的谋略、分清题型、要求、明白题意，从理解题意中捕捉有用的信息和从记忆储存中提取有关的信息，尽可能把较复杂的问题转化为较简单的问题，把较抽象的问题转化为较具体的问题，生成解题途径.此题第（2）问，要用勾股定理的逆定理判断△BAM是一个直角三角形，必须运用勾股定理来求线段AB、AM、BM的长，这个过程对于初中学生来说还是相当“繁”的，如果学生能直接应用两点间的距离公式，这一过程就变的比较简单了，两点间的距离公式虽然是高中的知识，但它的实质就是勾股定理的一个简单应用，如果学生理解了，就可以把烦琐的问题转化为简单的问题，生成解题途径.

2.精心捕捉，化“生”为“熟”，促成解题途径

在解题教学过程中，通过细致的观察、良好的记忆、深刻的洞察，从题目中捕捉有效的基本信息，把这些信息与课本例题、熟悉的类题联系起来，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，尤其是转化为已掌握的基本问题，产生“习题效应”，降低解题的难度，促成解题途径.例如第（1）问求三点的坐标，如果精心捕捉到了新抛物线是由y=x2-3的图像向右平移一个单位得到的，并且对应点的纵坐标不变，横坐标增加一个单位.B点的横坐标为3，反之向左平移一个单位后得到对应点的横坐标为2，代入y=x2-3得对应点的纵坐标为1，即B（3，1）.

3.从“头”到“尾”，寻找联系，探寻解题途径

如果题目没有找到合适的解决途径，可以从“头”到“尾”，寻找联系，探寻解题途径.即根据题目所给的条件与结论，认真剖析条件与结论，重新辨认条件、结论、定义、定理等，改变问题的形式，充实引进的辅助因素，思考大致要用到哪些数学知识与数量关系，综合应用逻辑思维和非逻辑思维的方法，从条件与结论的相互联系中去探寻解决问题的途径，如果所有这些有了清晰明了的细节、和谐的整体，那么解法一定就在眼前了.

总之，解题就是“解决问题”，“是指运用‘数学方式的理性思维’进行的思考，它重在培养学生独立思考的能力和从数学的角度去分析问题的素养，让学生学会独立思考，体会数学思想和数学思维方式，使学生终生受益.特别是学会独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心”，它是数学教师的立足之本，是数学活动的基本形式和主要内容，是师生的一个兴奋中心，它的学习有肋于学生逻辑思维的养成和归纳总结能力的提高，有利于培养学生思维的广阔性和严谨性，教师要引导学生注重解决问题的过程、策略及整合思想方法，把握解题原则、剖析解题过程、落实解题策略、回望思想方法，让学生经历一个由“被动”到“主动”的过程，从呵护、引领到放手、开放，逐步从“模拟解题”到自己“分析解题”，真正成为数学学习的主人，让解题变的更高效.我们只有经常学习解题理论，研究解题思想，掌握解题方法，在题目中捕捉有用的信息，从大脑中提取有关信息，进行加工、重组和再生，展示其逻辑结构，使其眼前豁然开朗，感受到境界的提升，进而有效地解决压轴题.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.李永明.基于“四基”理念的教学目标的实践与反思［J］.中学数学（下），2015（1）.

*本文为甘肃省教育科学“十二五”规划2013年度立项课题《基于“四基”理念高效课堂的案例研究》的阶段性成果，课题编号：GS［2013］GHB0764.