“超经验数学”的教学真的没有经验可借鉴吗？

1 写在前面

日前，张奠宙教授在某初中数学教研群中提出了一个课题——“超经验数学”的教学，引起群内众多老师的兴趣.张教授认为在教学中凡是无法用实际情景创设的内容，都属于“超经验数学”，如因式分解、负负得正、无理数、幂的运算、配方等，“超经验数学”吓退了很多学生，使很多学生过早失去了学习数学的兴趣，若能攻克，那怕只是有所前进，仍是一大贡献.通过群内讨论，我不禁反思以往对这部分内容的教学，我们真的找不到一个好的途径去解决“超经验数学”内容的教学吗？本文结合笔者近期对沪科版教材“有理数乘法”、“实数”内容的教学，先概述两个教学片段，再展示笔者对这两个片段的说明，最后给出相关思考，与同行交流.

2 两则教学片段

2.1 片断一：“负负得正”的探究

（根据乘法的意义，把乘法转化为加法探究出两个异号有理数相乘的法则后）

师：同学们还记得我们在小学学过的分配律吗？（板书分配律：a×（b-c）=a×b-a×c）你能利用分配律计算出（-3）×（1-2）结果吗？请同学们试试看.

生1：老师，我算出来了，结果是3.

师：完全正确，你能说一说你是怎么做的吗？

生1：式子中的-3相当于公式中的a，1相当于公式中的b，2相当于公式中的c，也就是说原式=（-3）×1-（-3）×2，再根据刚才所学的异号两数相乘的法则即可得出答案3.

师：真棒！生1不仅算出了正确结果，还为我们展示了他具体的思考过程，老师现在若让你们计算（-3）×（-1），你能想出具体的方法吗？

生2：还是等于3，只要把-1变成1-2就和上面算式完全一样了.

师：-1除了可以变形为1-2，是否可以变成0-1呢？能否有其它的变化方法呢？同学们试试看.（限于篇幅，学生在此环节探究的方法略）

师：通过刚才的探究，我们发现两个负数相乘，可以把其中一个负数变成两个正数的差，利用分配律计算出结果，这样的一个算式必竟是一个特例，是不是所有的两个负数相乘均可以这样呢？请同学们看下面这个问题：若-a，-b为负有理数，你能想方设法计算出（-a）×（-b）的值吗？

生3：可以这样计算：

（-a）×（-b）=（0-a）×（-b）=0×（-b）-a×（-b）=0-（-ab）=0+ab=ab.

师：漂亮！通过生3的算式可以发现：-a，-b为任意负有理数，而乘积变为两个正有理数a，b相乘，积为正数，类比两个异号有理数相乘，两个负数相乘你有什么发现？

生4：两个负有理数相乘，积为正数，只需把绝对值相乘即可.

2.2 片断二：2大小的探究

思考：如图，依次连接2×2方格四条边的中点A、B、C、D，得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度，请思考下面的问题：

（1）阴影正方形的面积是多少？

（2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？

师：图中阴影正方形的面积是多少？为什么？

生1：是2，因为图形是由4个面积为1的小正方形组成，AB所在的直线把其中一个小正方形的面积分成面积相等的两个小三角形，即其中一个小三角形面积为12，四个小三角形面积的和为2.

师：为什么AB所在直线可以把一个小正方形分成面积相等的两部分呢？

生1：因为正方形是轴对称图形，AB两旁的两个三角形折叠后完全重合.

师：不错，你想到了利用轴对称图形的性质.

师：正方形ABCD的面积为2，如何来表示它的边长呢？

生2：可以设正方形的边长为x，则x2=2，根据算术平方根的定义，可知x=2.

师：你的想法真不错，2是一个不同于我们以前学过的数，若每一方格的边长为2，相应的正方形边长又应该是多少呢？

生3：利用刚才所说的方法，正方形边长应为8.

师：8也是一个类似于2的数，有兴趣的同学，可以课下继续探究当每一个方格长为3、4或5的阴影正方形的边长.

师：2这样数是一个怎样的数呢，它介于哪两个整数之间呢？

生4：介于1与2之间，因为12=1<2，22=4>2，所以1<2<2.

学生明确了2介于哪两个整数后，再利用夹逼的方法（如下表所示）确定2各个数位上的值，让学生体验2既不是有限小数，也不是无限循环小数，是一个有理数之外的数.

1.42<2<1.521.4<2<1.5

1.412<2<1.4221.41<2<1.42

1.4142<2<1.41521.414<2<1.415

1.41422<2<1.41321.4142<2<1.4143

1.414212<2<1.4142221.41421<2<1.41422

……

3 对两则教学片断的说明

3.1 对“负负得正”教学片断的说明

由于“负负得正”这个超经验内容的教学，无法通过找到合适的生活实例来说明，所以“两个负数相乘得正数”这样一个在我们教师看来理所当然的结论与刚入学的七年级学生的认知产生了极大的矛盾.学生无法通过原有的知识来解释这个结论，以致于他们难以认可并接受“负负得正”的结论.记得，当年袁隆平院士接受中央电视台采访时曾说过，他喜欢外语、地理、化学，却最不喜欢数学，就是因为初中学习正负数的时候搞不清楚为什么两个负数相乘得正数，就去问老师，老师说“你记得就是”，从此袁隆平就认为数学不讲道理，也就对数学失去了兴趣.数学真的是不讲道理的吗？难说我们真的没有一个好的途径去解决“负负得正”这一超经验数学的教学吗？

现行沪科版教材主要通过温度计在单位时间内的上升与下降来引入和阐述，虽然规定温度下降为负，但学生还是很难理解为什么时间也能为负的，这样就与他们以往的认知相冲突而产生疑惑，这种生搬硬套地通过生活实例来解决“负负得正”的问题显然是很勉强的.现行人教版教材对“负负得正”的处理显然注意到了这个问题，采用了通过探究规律的合情推理方式，具体做法如下：先观察一组算式并找出规律：（-3）×3=-9，（-3）×2=-6，（-3）×1=-3，（-3）×0=0，然后根据找到的规律确定算式（-3）×（-1），（-3）×（-2），（-3）×（-3）的值，由此确定“负负得正”的结论.这种看似流畅的合情推理方法，实质上却是不完全归纳法，缺乏数学最基本的严谨，学生从内心深处还是不一定完全认可这个结论的.

现行人教版教材对“负负得正”的处理虽然还有一定的问题，但笔者却得到了启示：能否从学生现有的认知水平上推导得出“负负得正”的结论，使学生易于接受呢？正数与负数相乘可以通过加法得到，如（-3）×2可以写成2个（-3）相加，这样容易得到结果为-6，从而得到异号两数相乘得负的结论，两个负数相乘虽不能再用加法去解决，但能否通过乘法的运算律来实现呢？为了易于学生理解，笔者首先让学生利用分配律计算（-3）×（1-2）的结果后，再让学生从刚才的式子中得出计算（-3）×（-1）的方法，最后再推广到任意有理数范围内，得到“两个负数相乘得正数”的结论.由于学生前面已具备正数与负数相乘的经验，整个过程都是在学生原有的认知基础上进行的，这种方法更易获得学生的认可和接受.

3.2 对“2大小的探究”教学片断的说明

学生无法通过度量来得到无理数，其产生冲击了学生原有建立起的有关数的概念体系，学生是否真的相信有2这种数的存在，若存在，它的值又是多少，显然是这个教学环节的重点，要突出这个重点，就有必要对2的来龙去脉为学生呈现一个良好的认知途径.沪科版教材把这个内容安排在平方根、立方根之后，在此之前学生已具有良好的平方根知识基础，并建立起数的开平方是平方的逆运算的良好认识，这种安排为数的有关概念的修正与扩充作好了初步的积累.

本环节设计利用正方形面积来引入2，主要基于三方面的考虑：一是由于学生还没有学过勾股定理，无法利用勾股定理的数量关系构建2；二是为与算术平方根概念的衔接，利用新旧知识联系，为数域的扩充留出空间；三是通过实例问题，让学生认识到数域的扩充是基于现实发展的需求.明确了2这种数的存在性后，还需对2进行定性和定量分析，展示无理数的具体性，便于学生感知，为提炼无理数的本质属性打好基础，为此本环节采用教材上夹逼的方法探究无理数的值，既有利于让学生明确2是不同于有理数的新数，又让学生感受到用有理数逼近无理数的重要思想.

4 两点思考

4.1 “超经验数学”是否真的超越经验

有人说“超经验数学”内容，没有现实的情景，我们只能依靠理性，调动学生探求真理的天性，在精神层面寻求支撑，这种说法估且不论正确与否，它对学生的期望值是否有点偏高了呢？是否过早的就扼杀了学生学习数学的兴趣呢？章建跃曾指出，现实既可以是“生活的现实”，也可以是“数学的现实”，超经验数学内容可能没有现实的情景，但这并不一定说找不到数学的情景可供参考.如“负负得正”的教学，虽没有合适的生活实例来说明，但利用分配律不失为一种不错的选择，再如2大小的探究，度量虽永远无法得到无理数，但我们仍可通过正方形面积的探究来让学生感受到无理数的存在.

4.2 立足学生的认知，展开“超经验数学”内容的教学

反思我们的教学，总是被动地让学生接受我们认为规定好的、理所当然的结论，往往忽视学生原有的认知水平，致使“超经验数学”吓退了很多学生.所以，日常教学中，需立足学生的认知，深入解读学生的学习现状，合理地开展“超经验数学”内容的教学.如片断一中，由于学生在小学已对分配律较为熟悉，理解起来自然不难，虽然部分学生不经过提示由“-a”变成“0-a”有一定的困难，但有了前面一系列算式的铺垫，也就化解了难点.片断二中利用学生已有的平方根相关知识，设计正方形面积求边长引入2这个无理数，使学生切实感受到了存在不同于有理数的数.

5 写在最后

张奠宙教授提出“超经验数学”概念的时间还不长，参加研究的人员还不多，本人对其理解还是初步的，不完善的.希望能有更多的同行加入我们的行列，提出更多，更好的教学建议，供同仁们借鉴.

作者简介 高厚良，男，1979年生，中学一级教师，安徽省数学优质课一等奖，蚌埠市骨干教师，主要从事数学教学论、中考命题方向研究，近两年在省级以上杂志发表文章十多篇.