考虑全面 触类旁通

陈俊

“分类讨论”思想是数学研究的一种重要思想，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析，培养同学们思维的条理性、缜密性和科学性.本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用.

一、 对“方程类型”的讨论

例1 已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围.

【分析】当二次项m2x2的系数m2=0时，方程是一元一次方程，确有实数根；当m2≠0时，方程是一元二次方程，由题意得Δ≥0，最后将两种情况的答案加以综合.

解：（1） 当m2=0，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1；

（2） 当m2≠0，即m≠0时，方程为一元二次方程，由题意得：

【点评】由于这里二次项系数为待定系数，所以不能从形式上认为这一定是一元二次方程，故要考虑是一元一次方程的可能.

变式题1 已知方程m2x2+3mx+1=0有实数根，求m的取值范围.

二、 对“方程的根”的讨论

例2 当整数m取何值时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.

【分析】第一道方程是一元二次方程，则m≠0.“根是整数”包含两层含义：①方程有根，即Δ≥0；②取得整数根.根据题意，先解出m的取值范围，再得出m的整数值，从而验证两道方程是否都同时有整数根.

解：由题意得，m≠0.

∵方程均有实数根，

当m=-1时，方程mx2-4x+4=0为x2+4x-4=0，解得方程的根为x=-2±2，它的根不是整数，故m=-1舍去.

当m=1时，方程mx2-4x+4=0的根为x1=x2=2，方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根为x1=5，x2=-1，均为整数，所以m=1.

【点评】本题是对方程的“特殊根”的讨论.当m=±1时，只能说明两道方程有实数根，还需进一步讨论有整数根的情况.

例3 已知关于x的方程：x2-（m-2）x-=0.

（1） 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.

（2） 若这个方程的两个实数x1、x2满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、x2.

【分析】（1） 根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式Δ的值恒为正值即可；

（2） 根据根与系数的关系得到x1+x2=m-2，x1·x2=-≤0，再去掉绝对值符号得到x2=-x1+2或-x2=x1+2，然后分类解方程.

解：（1） Δ=[-（m-2）]2-4-=2（m-1）2+2，

∵2（m-1）2≥0，

∴2（m-1）2+2>0，即Δ>0，

所以方程总有两个相异的实根.

（2） 根据题意得，x1+x2=m-2，x1·x2=

-≤0，

∴x1≤0，x2≥0或x1≥0，x2≤0.

①若x1≤0，x2≥0，则x2=-x1+2，

即x1+x2=2，∴m=4.

此时x2-2x-4=0，

②若x1≥0，x2≤0，则-x2=x1+2，

即x1+x2=-2，

∴m=0，此时x2+2x=0，

x1=0，x2=-2.

【点评】本例是根据方程根的符号进行分类讨论，去掉绝对值符号是关键.

变式题2 关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0.

（1） 求出方程的根；

（2） m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

参考答案

变式题1：

解：当m=0时，不合题意；当m≠0时，方程是一元二次方程，由题意得，Δ=（3m）2-4m2=5m2≥0，∴m≠0.

变式题2：

（作者单位：江苏省南京师范大学第二附属初级中学）