例析高中数学建模

陈文海

摘 要： 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念.

关键词： 数学建模 思维能力 实际问题

各种数学公式、方程式、定理、理论体系等，都是一些具体的数学模型.举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数解决.而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法被称为数学模型方法.我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和构建模型的思想方法，使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.

具体的讲，数学模型方法的操作程序大致为：

实际问题→分析抽象→建立模型→数学问题

↑ ↓

检验 ← 实际解 ← 释译 ← 数学解

由此，我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理.这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力.学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识的培养贯穿教学的始终，也就是要不断引导学生用数学思维的观点观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯.构建数学建模意识的基本途径如下.

1.为了培养学生的建模意识，中学数学教师首先要提高自己的建模意识.这不仅意味着在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新.中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活.北京大学附中张思明老师对此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一则广告：“本店承接A1型号影印.”什么是A1型号？在弄清了各种型号的比例关系后，他便把这一材料引入到初中“相似形”部分的教学中.这是一般人所忽略的事，却是数学教师运用数学建模进行教学的良好机会.

2.数学建模教学应与现行教材结合起来研究.教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放到这些模型中解决；又如在解几中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题，而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中.要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力.

3.注意与其他相关学科的关系.由于数学是学生学习其他自然科学以至社会科学的工具，而且其他学科与数学的联系是相当密切的，因此我们在教学中应注意与其他学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其他学科的理解，而且是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径.例如教了正弦型函数后，可引导学生用模型函数y=Asin（wx+Φ）写出物理中振动图像或交流图像的数学表达式.又如当学生在化学中学到CH CL ，金刚石等物理性质时，可用立几模型验证它们的键角为arccos（-1/3）=109°28′……可见，这样的模型意识不仅是抽象的数学知识，而且将对他们学习其他学科的知识及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响.

4.在教学中要结合专题讨论与建模法研究.我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”、“图解法建模”、“直（曲）线拟合法建模”，通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法.甚至可以引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”，借以拓宽视野、增长知识、积累经验.这亦符合波利亚的“主动学习原则”，正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”.

如：在一条笔直的大街上，有n座房子，每座房子里有一个或更多的小孩，问：他们应在什么地方会面，走的路程之和才会尽可能地少？

分析：如何表示房子的位置？构造数轴，用数轴表示笔直的大街，几座房子分别位于x ，x ，…，x ，不妨設x

再如，对数函数y=log x的单调性是分01两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式；如log >-1就应以底数x>1和01时， > ；当0

从上面例子可以看出，只要我们在教学中仔细地观察，精心地设计，就可以把一些较抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域，并且能培养学生的创新能力.

总之，要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞不切实际的建模教学。我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉地在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足发展.