解析圆锥曲线的最值问题

王文忠

【摘要】 圆锥曲线的最值问题是综合性较强的内容，重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题。圆锥曲线有效衔接了代数与几何，是数形结合的典型体现，因此圆锥曲线的最值问题的求解常常借助于几何法和代数法。几何法注重圆锥曲线定义与平面几何知识的结合，代数法从函数、均值不等式等方面解析了圆锥曲线的最值问题。

【关键词】 圆锥曲线 最值 几何法 代数法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）04-072-01

0

在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题。

解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广，策略性要求高，其基本的思想是函数思想和数学结合思想，基本策略主要的代数和几何两个角度分析。由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择，但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破。

几何方法主要结合图形的特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断；代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值，再借助函数、方程、不等式等知识解决。本文通过例题来展示圆锥曲线有关最值的求解思路与策略。

一、几何法

例1已知椭圆■+■=1内有一点A（2，1），F1为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求PA+PF1的最大值与最小值。

解：如图，设椭圆的右焦点为F2，可知其坐标为（3，0）

由椭圆的定义得：PF1+PF2=10

∴PF1=1-PF2，

∴PA+PF=PA+10-PF2=10+PA-PF2

可知，当P为AF2的延长线与椭圆的交点时，PF-PF2最大，最大值为AF2=■，当P为F2A的延长线与椭圆的交点时，PA-PF2最小，最小值为-AF2=-■。

故PA+PF的最大值为10+■，最小值为10-■。

求解策略：利用椭圆第一定义转化为平面内到两定点距离的最值问题。

二、代数法

（一）构造函数求解

例2【2014年福建卷】设P，Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆x210+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）

A.52 B.46+2 C.7+2 D.62

[解析]设圆心为点C，则圆x2+（y-6）2=2的圆心为C（0，6），半径r=2.设点Q（x0，y0）是椭圆上任意一点，则20x10+y20=1，即x20=10-10y20，

∴CQ=2010-10y+（y0-6）2=20-9y-12y0+46=＼rc＼3）））＼s＼up12（2）+50，

当y0=-23时，CQ有最大值52，

则P，Q两点间的最大距离为52+r=62.

小结

函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数，反比例函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不容忽视。

（一）构造均值不等式形式

例3【2014·新课标全国卷Ⅰ】已知点A（0，-2），椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为3）2，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为3）3，O为坐标原点。

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程。

解：（1）设F（c，0），由条件知，2c=3）3，得c=3.

又ca=3）2，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故E的方程为x24+y2=1.

（2）当l⊥x轴时不合题意，

故可设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

将y=kx-2代入x24+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0，当Δ=16（4k2-3）>0，即k2>34时，x1，2=4k2-3）4k2+1，从而PQ=k2+1|x1-x2|=k2+1）·＼r（4k2-3）4k2+1.

又点O到直线l的距离d=2＼r（k2+1）.

所以△OPQ的面积S△OPQ=12d·PQ=4k2-3）4k2+1.设4k2-3=t，则t>0，S△OPQ=4tt2+4=44t.

因为t+4t≥4，当且仅当t=2，即k=±7）2时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，k=±7）2，l的方程为y=7）2x-2或y=-7）2x-2.

小结：上例是利用均值不等式定理求解圆锥曲线最值问题的，解题时要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。

综上所述，解决圆锥曲线中的最值问题，要注意联系圆锥曲线的定义和性质，重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。概括来说：先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式；在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，应用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等进行分类讨论。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。