由问题引出的“研究性学习”

王沈彬

【摘要】 本文从学生的问题出发，组织学生深入探讨研究，一系列新颖的结论、巧妙的方法，令人耳目一新。本文的研究为我们在学科内开展“研究性学习”提供了一个良好的素材，也为我们如何在学科内挖掘“研究性学习”的素材提供了一个范例。用向量去研究直线有关问题，并不新鲜，但是把直线方程用向量的数量积形式表示，教科书及各类资料均没有。根据学生的问题，深入探究发现，一条直线可以用它的法向量和原点到直线的距离来确定（课本上用点和斜率或两点来确定），即直线的数量积形式，运用直线的数量积形式，点到直线的距离有了简洁独特的证法。很多涉及到距离有关问题，可以用直线的数量积形式解决。

【关键词】 研究性学习 直线方程 数量积

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）04-007-01

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“研究性学习”越来越被中学所重视，研究性学习可以激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题解决问题的能力，培养学生不断进取勇于探究的精神。很多学校专门开设了“研究性学习”的课程，指导学生如何选课题，如何研究，有哪些方法和步骤。教学过程中，教师一般指导学生自己去寻找课题，对自己身边的生活现象、社会热点、历史文化等等，选取一个问题进行研究。但学科内“研究性学习”却很难开展，原因一：教学任务重时间紧，没有时间让学生去探索和研究；原因二：教学内容中很难找到合适的问题让学生研究。笔者认为，课堂教学和“研究性学习”是相辅相成的，教师应在教学过程中渗透“研究性学习”的思想和方法，培养学生自主探究的习惯。特别注意在学生的问题中挖掘“研究性学习”的素材。笔者在教学过程中做过一些尝试。并取得了良好的效果。

笔者在教学过程中， 有学生问这样一道题目：已知点A（2，-1）和点P（x，y），O坐标原点，点P满足条件x+y-2≥0

x-y+2≥0

x≤2 ，求OA·OP的最大值和最小值？这道题不难，OA=（2，-1），OP=（x，y），向量的数量积OA·OP=2x-y，令z=2x-y，则-z是直线y=2x-z的截距。提示了一下，学生也就做出来了。由于本题中2x-y=OA·OP，学生接下来又提出了一个问题：直线方程ax+by+c=0是不是可以用向量（a，b）和（x，y）的数量积表示为（a，b）·（x，y）+c=0呢？ 我们知道，已知直线l的法向量（a，b）和直线上一点P（x0，y0），直线方程可表示为：a（x-x0）+b（y-y0）=0 （直线的法向量和方向向量的数量积为0） ，即直线的点法式方程。 将直线写成（a，b）·（x，y）+c=0的形式其本质上好像与直线的点法式是一致的，但是它们确定直线的方法不一样，直线的点法式，确定直线的方法是直线上一点P（x0，y0），和直线的法向量（a，b），而直线（a，b）·（x，y）+c=0确定直线的方法是直线的法向量（a，b）和常数c，那么常数c肯定有它的几何意义。于是我跟学生说，你把直线方程写成这种形式很新颖，写成这种形式究竟有怎样的意义呢？我们可以花点时间把它作为一个问题来研究。

例1.已知点A（2，-1）和点P（x，y），O坐标原点，点P满足条件x+y-2≥0

x-y+2≥0

x≤2 ，求OA·OP的最大值和最小值？

解答：

约束条件x + y - 2 ≥ 0

x - y + 2 ≥ 0

x ≤ 2的可行域

如图1.OA·OP=2x-y=5（25x-15y）

由点到直线的距离公式可知：对于任意的点M（x0，y0） ，25x0-15y0为点M到直线25x-15y=0的距离。所以只需将A、B、C三点坐标代入5（25x-15y），即可得出OA·OP的最大值与最小值 。以前我们的做法是，令z=2x-y，则-z是直线y=2x-z的截距，转化为求截距的最大值和最小值。

结束语

根据学生的问题，教师敏感地捕捉到一个“研究性学习”的素材，组织学生通过一个学期的合作探究，收获满满。探究是艰辛的，也是快乐的。它拓宽了学生的眼界，提高了学生的能力，提高了学生的学习兴趣。虽然很多的问题都是在老师的启发和引导下开展完成的，但是这种自主研究的学习模式，可以突破课本和课堂的限制，可以延续到课外很多学生感兴趣的问题，很有积极意义。

作为教师应改变观念，适应时代潮流，学习新的教学方法，新的教学理念，在教学过程中渗透“研究性学习”的思想， 面对学生的问题，要有积极鼓励的心态，挖掘学生闪光的思想， 积极倡导学生合作探究的精神。教师应努力在学生的问题中寻找“研究性学习”的素材，积极组织学生合作探究，从学生中来，到学生中去，让学生的“研究性学习”充满激情和乐趣。