中考解题三步骤

邹少扬

摘 要：据统计每年会产生两百多套的中考真题，在临近中考时，各地市也会有各种各样的中考模拟题、仿真题，所以每年更新的题型会达到上千套，而难度在逐层创新下，更是有增无减。在如此严峻的情势下，即使做完所有的题目，也无法保证会碰到中考的真题，那么我们是否可以以不变应万变，有没有一般性的规律呢？

关键词：数学概念；转化思想；基本模型；内心

认真研究数年的中考真题，发现对于任何一种题型，要想将问题迎刃而解，必须掌握好以下三个步骤：

一、透彻理解数学概念——明确解题的方向及范围

要想进行正确的思维活动，获得关键的解题思路，必须明确其中的各个数学概念，那么就要清晰地理解数学概念的内涵和外延，概念的内涵：即这个概念所反映的事物的本质的属性。如，（1）等边三角形：三角形，三边相等；（2）矩形：平行四边形，一个角是直角；（3）相反数：两个数，只有符号相反……概念的外延：即适合这个概念的一切对象。如，（1）复数：实数和虚数；（2）实数：有理数和无理数；（3）有理数：整数和分数……

所以，学生在对数学概念的学习时需要注意每个概念的内涵和外延，要善于解剖概念中的关键词语，只有明确了概念，才能在解题的过程中寻找关键的信息，了解了考查对象的本质及范围，就明确了解题的方向及深度，等于找到了黑暗的道路中的一盏明亮指路灯，茂密的森林中的一个指明方向的指路牌。

二、联想相关知识信息——利用转化的思想，将未知转为已知

研究教材中的知识体系时，常常会用到一个数学思想方法：转化的思想。

如，在我们的教材中：

七年级时，将有理数的减法运算转化为加法运算；将有理数的除法运算转化为乘法运算；将一元二次方程的解法转化为解一元一次方程；将解分式方程转化为解整式方程……

八年级时，将四边形的问题转化为三角形的问题；将复杂的、不规则的图形转化为规则图形进行解决……

九年级时，将锐角三角函数的问题转化为相似三角形的问题；将圆的问题转化为相似的问题；将内心问题转化为角平分线的问题……

在平时的教学中，可以发现对于知识的生成过程，新问题的解决方法的寻找，利用的都是转化的思想，在寻找问题的解题思路中，也可以遵循这个规则：透彻理解数学概念之后，将孤立的知识点与已学过的知识相联系，整合，寻找其异同点，继而复杂的简单化，繁复的简洁化，弯曲的直接化等，将难以解决的问题转化为已知的、已会的问题来解决。

三、利用基本模型得到方法——寻找已知的基本模型，得到解题的方法

在平时的教学过程中，将各个题型的解题规律进行归纳总结，让学生的知识体系系统化，故数学具有较多的基本模型：

在学习方程时，握手问题、贺卡问题、比赛问题、路程问题、增长率问题、优惠问题等；

在学习角平分线时：角平分线、等腰、平行，三个中“知二得一”模型；

在学习圆的垂径定理时：过圆心的直径、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的优弧、劣弧，五个中“知二求三”模型；

在学相似三角形中，有射影定理、两两相似等等。

认真研究这些基本模型，在做题的过程中往往可以达到事半功倍的效果。

本文从中考真题中一道三角形的四心的问题进一步解析这三个步骤，对于三角形的四心，一则学生无法区别四心的概念，二则因为四心定义的简单，学生无法从中获得有用的信息，而对题目束手无策。

例：抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点C，且经过A（-1，0），B（3，0）两点，若△ABD的面积为8.

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）Q是抛物线C1上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标。

（1）易求抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3

（2）师：看到这道题，你们有什么想法？

生甲：先找到三角形的内心。

生乙：Q点是动点，则△QBC是动态的，内心无法确定其准确位置。

学生在这时候，就断了思路，其实这是对内心还没有了解透彻，而是把内心孤立看成一点。以下我们来解析解题三步骤：

步骤一，透彻理解数学概念——明确解题的方向及范围。

内心是三角形内切圆的圆心。

步骤二，联想相关知识信息——利用转化的思想，将未知转为已知。

内切圆圆心，联想到半径，就容易联想到到三角形三边距离相等，进而得到内心即为三角形角平分线的交点。

可以很容易将内心的性质转化为已有的角平分线的性质。

如上图，∠MAB=∠AON

ON∥AB，∠1=∠2？圯OA=AB

基本模型（3）因為角度相等所以可以构造图形的对称性，添加辅助线：

等腰三角形；

全等三角形；

全等的直角三角形。

步骤三，利用基本模型得到方法——寻找已知的基本模型，得到解题的方法

本题中已知内心在x轴上，说明x轴即为本三角形的一条角平分线，利用角平分线的原始性质，分两个角相等，而由∠CBO=45°，可得∠CBQ=90°

利用以上基本模型（3）中等腰直角三角形的性质，可得E点的坐标，那么直线BE的解析式即可得，直线BE与抛物线的交点Q也就可求了。

所以如果知道内心的性质即为角平分线的性质，那么本题就可以迎刃而解。

参考文献：

唐瑞芬.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社，2001.